Re: [obm-l] raiz negativa de equação..

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote:
> Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista....
> Qual é a raiz negativa da equação:  
> 
> 2^x - x^2=0

Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência.
A raiz é aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067.
Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos
uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que
f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única.
O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo
método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro software
similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não
pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é racional,
como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritmética.
Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo
teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x
não é algébrico.

Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um número
transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este número
pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais
conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar que
a resposta é não deve ser difícil.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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