Re: [obm-l] Teorema do Valor Intermediário e Função Monótona

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, May 12, 2005 at 08:48:13AM -0300, Bruno Pereira Dias wrote:
> Olá pessoal,
> 
> Em minha aula de Cálculo surgiu uma questão que o professor não conseguiu 
> responder:
> 
> Suponha que f seja uma função que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor 
> Intermediário num intervalo [a,b], mas f toma cada valor entre f(a) e f(b) 
> apenas uma única vez. Prove ou dê um contra-exemplo que f é monótona em 
> [a,b].

Sim, é verdade.

Suponha sem perda de generalidade que f(a) < f(b).
Suponha por absurdo que existam c e d, a <= c < d <= b, f(c) > f(d).
Não podemos ter a = c e d = b, então suponha sem perda de generalidade
que a < c < d <= b.

Se f(a) < f(c), seja y < f(c), y > f(a), y > f(d).
Por hipótese f satisfaz a conclusão do TFI, donde existem
x1 entre a e c e x2 entre c e d com f(x1) = f(x2) = y, contradição.

Se f(a) > f(c), seja y > f(c), y < f(a), y < f(b).
Por hipótese f satisfaz a conclusão do TFI, donde existem
x1 entre a e c e x2 entre c e b com f(x1) = f(x2) = y,
novamente uma contradição, concluindo a prova.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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