[obm-l] series , convergencia uniforme

["fniski" <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Ola.
Inicialmente, obrigado ao Claudio pela ajuda na questao com o limsup. 
Segue outro problema e a minha tentativa.

Sejam V = { z pert C : |(z+1)/z+2| < 1 } e consideremos a serie de funcoes
de termo geral f[m](z) = [(z+1)/(z+2)]^m , isto eh
Sum[0, +inf] { [(z+1)/(z+2)]^m }

Prove que esta serie eh absolutamente convergente em V e uniformemente
convergente sobre cada compacto de V.

Minha tentativa :

A serie Sum[0, +inf] { [|(z+1)/(z+2)|]^m }
 geometrica e portanto eh convergente. Seja f o tal limite. Utilizando o resultado
de que toda serie absolutamente convergente eh pontualmente convergente 
temos que
dado eps > 0 , existe n0 natural t.q para n >= n0 => |fn - f| < eps/2
por outro lado, existe m0 natural tal que para m >= m0 => |fm - f| < eps/2
Seja entao N = max {n0,m0}, tem-se que para n,m >= N resulta
|fm - fn| <= |fm - f| + |f - fn| < eps
Usando o resultado de que toda serie de Cauchy eh uniformemente convergente
esta provado o que se queria.

Bom, eu achei um pouco estranho alguns pontos da minha demonstracao
1) Acho que usei alguma ideia estupida pois seguindo um raciocinio analogo 
vou posso concluir que toda serie de funcoes pontualmente convergente eh uniformemente
convergente.

2) Aonde entra a hipotese dos compactos? Sera que isso tem alguma a coisa
a ver com a observacao (1) ?

Desde ja, muito obrigado.

Niski




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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