[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re:[obm-l] series , convergencia uniforme

Oi, Niski:
 
Pra facilitar um pouco as contas, vou mudar de variáveis para:
SOMA(m=0...inf) ((z-1)/z)^m, de modo que a n-ésima soma parcial é:
S_n(z) = SOMA(m=0...n-1) ((z-1)/z)^m =
(1 - ((z-1)/z)^n)/(1 - (z-1)/z) = z*(1 - ((z-1)/z)^n)
 
Nesse caso, V = {z em C | |(z-1)/z| < 1} = {z em C | Re(z) > 1/2}.
 
Para todo z em V, S_n(z) -> S(z) = z.
 
Além disso, como você disse, a série é absolutamente convergente em V pois a série dos valores absolutos é uma PG de razão pertencente a [0,1).
 
No entanto, a série não é uniformemente convergente em V.
Seu engano foi ter aplicado o critério de Cauchy à SEQUÊNCIA de funções (f_n), com f_n = ((z-1)/z)^n e concluído que a SÉRIE é uniformemente convergente.
 
Pra ver que S_n(z) = z*(1 - ((z-1)/z)^n) não converge uniformemente para S(z) = z em V, repare que, para cada n >= 1, o polinômio:
p_n(z) = (z-1)^n - z^(n-1) possui uma raiz real maior do que 1/2, uma vez que:
p_n(1/2) = (-1/2)^n - (1/2)^(n-1) < 0, para n >= 1
e
p_n(z) -> +infinito quando z -> + infinito (z real).
Para cada n >=1, seja z_n uma raiz real maior do que 1/2 de p_n(z).
Então, (z_n - 1)^n - z_n^(n-1) = 0 ==>
(z_n - 1)^n/z_n^(n-1) = 1 ==>
|S_n(z_n) - S(z_n)| = |-z_n*((z_n - 1)/z_n)^n| = 1
Ou seja, existe eps > 0 tal que, para todo n >= 1, podemos encontrar z_n em V tal que |S_n(z_n) - S(z_n)| >= eps. Nesse caso, qualquer eps <= 1 serve. Logo, S_n(z) não converge uniformemente para S(z).
 
Seja K um compacto contido em V.
Seja M = max{ |z| | z pertence a K}  (M existe pois K é limitado).
Além disso, a função real g:K -> R dada por g(z) = |(z-1)/z| atinge o seu valor máximo (igual a b, digamos) em algum ponto de K.
Como K está contido em V, 0 <= b < 1.
Logo, dado eps > 0, existe n_0 em N tal que n > n_0 ==> b^n < eps/M.
 
Assim, dado este eps > 0, se n > n_0 então, para todo z em K, teremos:
|S_n(z) - S(z)| = |z|*|(z-1)/z|^n < M*b^n < M*eps/M = eps.
 
Ou seja, S_n -> S(z) = z uniformemente em K.
 
[]s,
Claudio.
 
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 12 Apr 2005 15:03:22 -0300
Assunto: [obm-l] series , convergencia uniforme
> Ola.
> Inicialmente, obrigado ao Claudio pela ajuda na questao com o limsup.
> Segue outro problema e a minha tentativa.
>
> Sejam V = { z pert C : |(z+1)/z+2| < 1 } e consideremos a serie de funcoes
> de termo geral f[m](z) = [(z+1)/(z+2)]^m , isto eh
> Sum[0, +inf] { [(z+1)/(z+2)]^m }
>
> Prove que esta serie eh absolutamente convergente em V e uniformemente
> convergente sobre cada compacto de V.
>
> Minha tentativa :
>
> A serie Sum[0, +inf] { [|(z+1)/(z+2)|]^m }
> geometrica e portanto eh convergente. Seja f o tal limite. Utilizando o resultado
> de que toda serie absolutamente convergente eh pontualmente convergente
> temos que
> dado eps > 0 , existe n0 natural t.q para n >= n0 => |fn - f| < eps/2
> por outro lado, existe m0 natural tal que para m >= m0 => |fm - f| < eps/2
> Seja entao N = max {n0,m0}, tem-se que para n,m >= N resulta
> |fm - fn| <= |fm - f| + |f - fn| < eps
> Usando o resultado de que toda serie de Cauchy eh uniformemente convergente
> esta provado o que se queria.
>
> Bom, eu achei um pouco estranho alguns pontos da minha demonstracao
> 1) Acho que usei alguma ideia estupida pois seguindo um raciocinio analogo
> vou posso concluir que toda serie de funcoes pontualmente convergente eh uniformemente
> convergente.
>
> 2) Aonde entra a hipotese dos compactos? Sera que isso tem alguma a coisa
> a ver com a observacao (1) ?
>
> Desde ja, muito obrigado.
>
> Niski
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>