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[obm-l] Re: [obm-l] Matrizes invertíveis....
Pra mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é fechado, você poderia também mostrar que o seu complementar M é aberto.
A pertence a M <==> A'A <> I.
A função F: R^(n^2) x R^(n^2) -> R^(n^2) dada por F(X) = X'X é contínua e M é a imagem inversa por F do aberto R^(n^2) - {I}.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Sun, 3 Apr 2005 20:23:36 -0300 (BRT) |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Matrizes invertíveis.... |
> A funçao determinante de martizes é continiua. O conjunto das matrizes
> inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo),
> portanto é um conjunto aberto.
>
> Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que
> é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes
> a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1.
> Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes
> ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal.
>
> Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta
> igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso
> pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
> A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
> A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a
>
=1, para todo k, e para i=1,...,n <,>é o produto interno ( > escalar de vetores.
> Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a
> coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas
> igualdades do produto escalar, teremos que
=1 para i=1,...,n e > assim A é matriz ortoganal .
>
>
>
>
> On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:
>
> > Alô amigos,
> >
> > Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ?
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
>
> --
> Good bye!
> Mario Salvatierra Junior
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