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[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.

A coisa é um pouco mais geral: basta que n seja primo com 10.
 
Assim, seja n um inteiro positivo primo com 10.
 
Considere as n divisões euclidianas:
10 = q_1*n + r_1
100 = q_2*n + r_2
...
10^n = q_n*n + r_n
onde, para cada i (1<=i<=n), vale 1 <= r_i <= n-1.
 
Nenhum r_i será zero pois n é primo com 10 e, portanto, não pode dividir nenhum 10^k exatamente.
 
Mas nesse caso, teremos n restos que só podem assumir n-1 valores distintos (de 1 a n-1, inclusive).
Logo, pelo PCP, vão existir inteiros u e v com 1 <= u < v <= n tais que:
r_u = r_v ==>
10^u - q_u*n = 10^v - q_v*n ==>
10^v - 10^u =  (q_v - q_u)*n ==>
n divide 10^u*(10^(v-u) - 1) ==>
n divide 10^(v-u) - 1, pois n é primo com 10.
 
Sejam k = v - u  e  q = (10^k - 1)/n = 10^k/n - 1/n = inteiro.
 
Seja 1/n = a_1/10 + a_2/10^2 + ... + a_k/10^k + a_(k+1)/10^(k+1) + ...
Então:
10^k/n = 10^(k-1)*a_1 + 10^(k-2)*a_2 + ... + a_k + a_(k+1)/10 + ...
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
q = (10^k - 1)/n =
10^(k-1)*a_1 + ... + a_k + (a_(k+1)-a_1)/10 + (a_(k+2)-a_2)/10^2 + ...
 
10^(k-1)*a_1 + ... + a_k é inteiro e positivo.
Em particular, k >= 1 e a_1 >= 1.
 
No entanto, (a_(k+1) - a_1)/10 + (a_(k+2) - a_2)/10^2 + ... só será inteiro se a(k+1) - a_1 = a_(k+1) - a_2 = ... = 0 e isso significa que:
a_(k+1) = a_1,
a_(k+2) = a_2,
...
a_(2k) = a_(k),
a_(2k+1) = a_(k+1) = a_1,
...
 
Ou seja, 1/n é uma dízima periódica simples cujo período é (a_1a_2...a_k).
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sun, 03 Apr 2005 11:56:49 -0300
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
> Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p
> seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema...
>
> Um abraço,
> Frederico.
>
> >From: "claudio.buffara"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l"
> >Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
> >Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300
> >
> >Se p = 3, então p divide 111, 111111, 111111111, e qualquer número formado
> >por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).
> >
> >Suponhamos, portanto, que p <> 2, 3 e 5.
> >Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais
> >fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de
> >Euler)
> >
> >Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
> >teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2....a_na_1a_2...
> >de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
> >p divide 10^n - 1 = 9*11...1
> >Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
> >Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos
> >formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p.
> >
> >[]s,
> >Claudio.
> >
> >
> >
> >De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> >Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> >Cópia:
> >
> >Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300
> >
> >Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
> >
> > >
> > >
> > > Olá a todos.
> > >
> > > è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p
> > > divide infinitos dos
> > > números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o
> >Peq.
> > > Teorema de Fermat, que
> > > não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a
> >periodicidade da
> > > expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa,
> > > que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma?
> > >
> > > Agradeço desde já a todas as sugestões.
> > > Um abraço a todos,
> > > Frederico.
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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