Re: [obm-l] Racional ou Irracional???

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > Corolário do corolário:
> > Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional.
> > Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional.
> > 
> Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1.
> Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho
> que essas sao as unicos excecoes.

Acho que não estamos nos entendendo.

Se r = 1/2 então arccos(r) é de fato múltiplo racional de Pi
mas não era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem
nem foi esta a pergunta original.

O que eu disse é que arccos(r) é irracional para r racional,
r diferente de 1, o que é correto exatamente como eu enunciei,
sem outras exceções além de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2
é irracional pois pi é irracional.

Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r) 
é um múltiplo racional de pi então a resposta é que isto ocorre
exatamente para os valores que você listou: 0, +-1 e +-1/2.
A prova disso é bem simples. Se x é racional então
2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) é um inteiro algébrico.
Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional
e inteiro algébrico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2
devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2. 

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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