Re: [obm-l] Racional ou Irracional???

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 03, 2005 at 07:44:53AM -0300, cfgauss77 wrote:
>  Gostaria de uma ajuda no seguinte problema ou que me indicassem uma
>  literatura que me ajudasse no assunto.
> 
>   Demonstre que arcCos(3/5) é irracional.
> 
> Posso afirmar corretamente que arcCos(r) ou arcSen(r), com r racional, sempre
> será um irracional?

Será que você não quer dizer que arccos(3/5)/pi é irracional?
Se for isto, o seu problema é uma reformulação de uma questão
que caiu no vestibular do IME de 1980-81 e que já foi discutida
aqui mais de uma vez. O enunciado original era mais ou menos o seguinte:

 Seja z = (3+4i)/5. Prove que z não é raiz da unidade, ou seja,
 que z^n não é igual a 1 para nenhum n.

A solução mais curta e elementar que eu conheço é a seguinte.
Define z^n = (an + bn i)/(5^n). Assim
a0 = 1, b0 = 0
a1 = 3, b1 = 4
a2 = -7, b2 = 24
...
a(n+1) = an^2 - bn^2, b(n+1) = 2 an bn

Agora é fácil provar por indução que an = 3 (mod 5) e bn = 4 (mod 4)
para todo n >= 1. Em particular, bn é diferente de 0 e z^n é diferente de 1.

O problema como você escreveu também é correto mas eu não sei fazer
de forma elementar (mas também não tentei muito). Ele é um corolário
do teorema de Lindemann:

 Teorema: Sejam a1, a2, ..., am números algébricos distintos.
 Então exp(a1), exp(a2), ..., exp(am) são linearmente independentes
 sobre o corpo dos números algébricos.

(Estou traduzindo de Irrational Numbers, Ivan Niven,
The Carus Mathematical Monographs, no. 11, MAA, capítulo 9.)

Corolário: Se x é algébrico, x diferente de 0, então cos(x) é transcendente.

Demonstração: Sejam a1 = 0, a2 = ix, a3 = -ix.
Temos cos(x) = (exp(a2) + exp(a3))/2. Se cos(x) fosse algébrico,
seria um múltiplo algébrico de 1 = exp(a1), contrariando
o teorema de Lindemann.

Corolário do corolário:
Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional.
Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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