Re: [obm-l] Racional ou Irracional???

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 03.03.05 11:21, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Thu, Mar 03, 2005 at 07:44:53AM -0300, cfgauss77 wrote:
>> Gostaria de uma ajuda no seguinte problema ou que me indicassem uma
>> literatura que me ajudasse no assunto.
>> 
>> Demonstre que arcCos(3/5) é irracional.
>> 
>> Posso afirmar corretamente que arcCos(r) ou arcSen(r), com r racional, sempre
>> será um irracional?
> 
> Será que você não quer dizer que arccos(3/5)/pi é irracional?
> Se for isto, o seu problema é uma reformulação de uma questão
> que caiu no vestibular do IME de 1980-81 e que já foi discutida
> aqui mais de uma vez. O enunciado original era mais ou menos o seguinte:
> 
> Seja z = (3+4i)/5. Prove que z não é raiz da unidade, ou seja,
> que z^n não é igual a 1 para nenhum n.
> 
> A solução mais curta e elementar que eu conheço é a seguinte.
> Define z^n = (an + bn i)/(5^n). Assim
> a0 = 1, b0 = 0
> a1 = 3, b1 = 4
> a2 = -7, b2 = 24
> ...
> a(n+1) = an^2 - bn^2, b(n+1) = 2 an bn
> 
> Agora é fácil provar por indução que an = 3 (mod 5) e bn = 4 (mod 4)
> para todo n >= 1. Em particular, bn é diferente de 0 e z^n é diferente de 1.
> 
> O problema como você escreveu também é correto mas eu não sei fazer
> de forma elementar (mas também não tentei muito). Ele é um corolário
> do teorema de Lindemann:
> 
> Teorema: Sejam a1, a2, ..., am números algébricos distintos.
> Então exp(a1), exp(a2), ..., exp(am) são linearmente independentes
> sobre o corpo dos números algébricos.
> 
> (Estou traduzindo de Irrational Numbers, Ivan Niven,
> The Carus Mathematical Monographs, no. 11, MAA, capítulo 9.)
> 
> Corolário: Se x é algébrico, x diferente de 0, então cos(x) é transcendente.
> 
> Demonstração: Sejam a1 = 0, a2 = ix, a3 = -ix.
> Temos cos(x) = (exp(a2) + exp(a3))/2. Se cos(x) fosse algébrico,
> seria um múltiplo algébrico de 1 = exp(a1), contrariando
> o teorema de Lindemann.
> 
> Corolário do corolário:
> Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional.
> Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional.
> 
> []s, N.
>
Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1.
Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho
que essas sao as unicos excecoes.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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