Re: [obm-l] Re- listinha boa

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Re- listinha boa

A equacao imediatamente anterior a (7) (ou seja, H = ....) dah o valor da altura atingida por um estilhaco a uma distancia horizontal de D/2 da explosao em funcao da tangente do angulo w de lancamento.
Eh uma funcao da forma y = a*tg^2(w) + b*tg(w) + c, com a = - (g*D^2)/(8*Vo^2) < 0. 
Logo, o valor maximo eh dado por -delta/(4a) quando tg(w) = -b/2a.
Assim, basta fazer H >= -delta/(4a) e resolver esta inequacao para D.

[]s,
Claudio.

on 24.02.05 09:14, Murilo Rebouças Fernandes de Lima at mrllima@terra.com.br wrote:

> 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do
> fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da
> granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não
> ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá
> ser o diametro minimo d do poço?
>  
>  
> Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um
> ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x e y os
> deslocamentos horizontal e vertical nos pontos onde o estilhaço está acima da
> superfície da terra. Considere ainda o plano cartesiano com origem no centro do fundo do poço.
> g a aceleracao da gravidade.
>  
>  
> (1) x = v0 * (cos w) * t
> (2) y = v0 * (sen w) * t - (g * t^2 )/2
>  
> (3) fazendo (x,y) a borda do poço temos o par (D/2,H)  
>  
> de (1) e (3) temos:
>  
> (4) t = D / (2 * v0 * (cos w))
>  
> de (2) , (3) e (4) temos:
>  
> H = (sen w) * D / (2 * (cos w)) - g * D^2 / (8 * (v0^2) * (cos w)^2)
>  
> (5) H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 * ((sec w)^2) / (8 * (v0^2))
>  
> (6) (sec w)^2 = 1 + (tan w)^2
>  
> de (5) e (6)
>  
> H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 *  (1 + (tan w)^2) / (8 * (v0^2))
>  
> (7) { g*D^2/(8*(v0^2)) } *  (tan w)^2 -  {D/2} * (tan w) + { H+g*D^2/(8 * (v0^2)) } = 0
>  
> (7) é uma equacao do segundo grau em funcao de w. Para que D tenha o valor minimo é necessário que w (o argumento) tenha valor unico ou seja: raiz dupla. Delta = 0.
>  
> Fazendo as cxontas do delta e isolando D temos:
>  
> D = 2*v0*sqrt((v0/g)^2 - 2*H/g )
>  
> D = 2 v0 sqrt( (v0/g)^2 - 2H/g )
>  
> Talvez a parte do Delta ou alguma continha esteja errada pq to com pressa. Confiram ai. 
>  
> Abraços,
>  
> Murilo.
>  
>  
>  
>  
> ----- Original Message ----- 
> > From: Vinícius Meireles Aleixo <mailto:viniciusmeirelesa@bol.com.br>  
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Sent: Wednesday, February 23, 2005 10:55 PM
> > Subject: [obm-l] Re- listinha boa
> >
> >
> > >> 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do
> > >> fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da
> > >> granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não
> > >> ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá
> > >> ser o diametro minimo d do poço?
> >  
> > >Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um
> > >ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x_1 e x_2 os
> > >deslocamentos horizontais nos pontos onde o estilhaço está acima da
> > >superfície da terra. Seja ainda r = d/2.
> >  
> > [...]
> >  
> > >Chamando k^2 de 2*g*H/v_0^2, o nosso problema se reduz a achar o máximo
> > >de
> >  
> > >cos w*[sen w + sqrt(sen^2 w - k^2)]. Esse máximo será o valor de r.
> > >Como 0 < w < pi/2, os extremos não maximizam a função e cos w = sqrt(1
> > >- sen^2 w). Chamando sen w de u (logo 0 < u < 1), temos que maximizar
> >  
> > >sqrt(1 - u^2)*(u + sqrt(u^2 - k^2)).
> >  
> > >Apesar que eu não fiz a conta, não parece ser muito fácil achar esse
> > >máximo -- igualar a derivada a zero na mão é impraticável.
> >  
> >  
> > Oi,
> >  
> > Cara, eu empaquei aí também...
> > Caso alguém aí tenha uma solução mais inusitada ficarei grato.
> >  
> > Abraços
> >  
> > Vinícius Meireles Aleixo