Re: [obm-l] 3 problemas em aberto

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

[22/2/2005, claudio.buffara@terra.com.br]:
> Restam, na lista, 3 problemas em aberto dentre aqueles propostos na ultima
> semana. O primeiro, que eu propuz, eh de longe o mais facil. [...]

> 1) Sao dados n segmentos de reta (cada um de comprimento fixo mas todos
> moveis), os quais, justapostos numa dada ordem, formam um n-gono convexo
> inscritivel.
> Prove que qualquer permutacao desses segmentos formarah um n-gono convexo
> inscritivel e que todos os n-gonos assim formados tem a mesma area (e,
> obviamente, o mesmo perimetro).

Seja R o raio da circunferência circunscrita ao n-ágono, e O o centro
desta circunferência. Se os comprimentos dos lados são l_1, l_2, ...,
l_n e os ângulos associados de vértice O são a_1, a_2, ..., a_n, então
a permutação l_p(1), l_p(2), ..., l_p(n) induz os ângulos a_p(1),
a_p(2), ..., a_p(n). Além disso, como só estamos rearrumando os
triângulos gerados por O e por cada lado, a área é preservada.

>                                          [...] O terceiro dah pra fazer no
> braco, mas obviamente o legal eh achar uma forma esperta de enumerar os
> cortes. Eu pensei no numero de solucoes de x+y+z+w=8 com algumas restricoes
> mas me enrolei.

Se a sua idéia é a que eu estou pensando, o seguinte corte não parece
ser representado por nenhuma solução:

OOOO
XXOO
XOOX
XXXX

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira

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