Re: [obm-l] urgente - alg. linear_polinômio minimal

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Acho meio bobo escrever "urgente" no subject, fica parecendo spam.
Acho também que você deveria fazer com que o seu e-mail aparecesse
com o seu nome, e não como "List OBM", mas vamos aos problemas.

On Wed, Feb 02, 2005 at 10:46:30AM -0300, Lista OBM wrote:
> gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:
>  
> 1) Podemos dizer que AB e BA têm o mesmo polinômio minimal para todas
> matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas é não-singular?

As respostas são não e sim, respectivamente.

Para o primeiro, tome A = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]],
B = [[0,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]. Fazendo as contas,
vemos BA = 0 tem polinômio mínimo x e AB tem polinômio
mínimo x^2.

Para o segundo, suponha sem perda A inversível.
Escreva BA = A^(-1) (AB) A: assim AB e BA são conjugadas
e o resultado segue.
 
> 2) Seja A: V --> V uma transformação linear, onde V é um K-espaço vet. de
> dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:
>  
>                              W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.
>  
> Consegui verificar as seguintes afirmações: a) W(v) é um subspaço
> A-invariante;
>  
> b) Se f(X,v) é o polinômio minimal da restrição de A a W(v), então, para cada
> v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) é o polinômio minimal de A;
>  
> c) Se um polinômio h(X) pertencente a K[X] é divisível por f(X,v) para todo v
> em V, então h(X) é divisível por m(X).
>  
> Porém, naum consegui provar a afirmação abaixo: d) Prove que existe um v em V
> tal que f(X,v) = m(X). 

Uma matriz companheira é uma matriz A com primeira coluna e_2,
segunda coluna e_3, ..., (n-1)-ésima coluna e_n.
O teorema da forma racional diz que toda matriz M é conjugada
a uma matriz com blocos companheiros na diagonal
e zeros fora dos blocos. Podemos ainda tomar o primeiro
bloco com polinômio característico = polinômio mínimo de M.
Agora basta tomar v = e_1.

> Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde
> p(X,u) é o polinômio caracteístico da restrição de A ao respectivo W(u). Com
> isso a afirmação acima ficaria verificada usando o item c) e outras
> propriedades de polinômio minimal.
>  
> 3) Sejam R e S transformações K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim.
> finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.)
> tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n}
> tal que [R]_B e [S]_B  são diagonais.

Dizer que m_R(X) tem raízes simples em K é o mesmo que dizer que R
é diagonalizável em K. O mesmo vale para S. Como elas comutam elas
são simultaneamente diagonalizáveis.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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