[obm-l] urgente - alg. linear_polinômio minimal

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:

 

1) Podemos dizer que AB e BA têm o mesmo polinômio minimal para todas matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas é não-singular?

 

2) Seja A: V --> V uma transformação linear, onde V é um K-espaço vet. de dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:

 

                             W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.

 

Consegui verificar as seguintes afirmações:

a) W(v) é um subspaço A-invariante;

 

b) Se f(X,v) é o polinômio minimal da restrição de A a W(v), então, para cada v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) é o polinômio minimal de A;

 

c) Se um polinômio h(X) pertencente a K[X] é divisível por f(X,v) para todo v em V, então h(X) é divisível por m(X).

 

Porém, naum consegui provar a afirmação abaixo:

d) Prove que existe um v em V tal que f(X,v) = m(X).

 

Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde p(X,u) é o polinômio caracteístico da restrição de A ao respectivo W(u). Com isso a afirmação acima ficaria verificada usando o item c) e outras propriedades de polinômio minimal.

 

3) Sejam R e S transformações K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim. finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.) tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n} tal que [R]_B e [S]_B  são diagonais.

 

grato desde já, éder. 

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