Sabemos que por ser mdc(a,b) = 1, ax + by = c tem solucoes inteiras para todo c inteiro.
Isso quer dizer que, para cada c inteiro, a reta ax + by = c tem pontos inteiros (ou seja, com ambas as coordenadas inteiras), os quais sao igualmente espaçados.
Se um ponto eh (m,n), os pontos adjacentes serao (m-b,n+a) e (m+b,n-a), de modo que a distancia entre dois pontos inteiros adjacentes eh raiz(a^2+b^2).
Agora, os pontos de interseccao da reta com os eixos coordenados sao:
(0,c/b) e (c/a,0), de modo que a distancia entre eles eh:
raiz((c/b)^2+(c/a)^2) = (c/ab)*raiz(a^2 + b^2).
O que acontece se c >= ab?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 2 Feb 2005 14:46:44 -0200 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] eq diofantinas |
> Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez
> não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este
> ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn,
> com m, n >= 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente
> grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro
> wrote:
> > 1) Eu não entendi o porquê da restrição c>=ab...
> > Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos
> > números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by
> > [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b)
> > = 1. Portanto:
> >
> > ax+by = 1
> >
> > Agora basta multiplicar por c e ficamos com
> >
> > a(cx)+b(cy) = c
> >
> > pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) =
> > 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =]
> > abraços
> > Marcelo
> >
> > ________________________________
> > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do
> > Yahoo! agora.
> >
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>