Re: RES: [obm-l] Medida Exterior

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Jan 24, 2005 at 12:47:26PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim.

Não é não, tem até medida total.

> As conclusoes da Sandra me
> parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao
> os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas
> externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem
> medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de
> suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1].
> Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que
> satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita,
> temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao
> um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura
> um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula.
> Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A,
> tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e
> E' o complementar de E.   

Você precisa do axioma da escolha para construir conjuntos não mensuráveis.

Um exemplo do que vocês querem é o seguinte. Considere o anel Q_2
dos racionais com denominador ímpar. Dizemos que um elemento de Q_2 é par
de o seu numerados for par e é ímpar caso contrário. Assim, o conjunto Q_2
fica particionado em pares (2Q_2) e ímpares (2Q_2 + 1), ambos enumeráveis
densos. 

Definimos em R uma relação de equivalência: x é equivalente a y
se x-y pertence a Q_2. Seja X (axioma da escolha) um conjunto
com um representante de cada classe de equivalência.
Sejam X0 = X + Q_2 (o conjunto de todas as somas x+y com x em X
e y em Q_2) e X1 = X0 + 1. Claramente X0 e X1 formam uma partição de R.
Fica como exercício mostrar que para todo intervalo I
medida exterior(X0 inter I) = medida exterior(X1 inter I) = medida(I).

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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