Re: RES: [obm-l] Medida Exterior

[Bruno Lima <bbslima@xxxxxxxxxxxx>]

Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a 1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu certo.

Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:

O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. As conclusoes da Sandra me
parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao
os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas
externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem
medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de
suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1].
Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que
satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita,
temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao
um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura
um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula.
Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A,
tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e
E' o complementar de E.
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Sandra
Enviada em: Monday, January 24, 2005 12:12 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Exterior



Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao me
lembro das definicoes exatas neste momento. Mas tenho quase certeza que o
conjunto dos diofantinos e enumeravel (ao menos o nome difantino sugere
isto...). Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modo
que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto for
mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I inter
L).
Assim, nao temos um exemplo conforme pedido pelo colega da mensagem
original.
Sandra





--- On Mon 01/24, Sandra < sandra-lynn0@excite.com > wrote:
From: Sandra [mailto: sandra-lynn0@excite.com]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Mon, 24 Jan 2005 06:53:42 -0500 (EST)
Subject: Re: [obm-l] Medida Exterior


Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao
me lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos e
enumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida
nula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida
infinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I
inter D) + m(I inter L).
Sandra




--- On Mon 01/24,
Sandra < sandra-lynn0@excite.com > wrote:
From: Sandra [mailto:
sandra-lynn0@excite.com]
To: obm-l@matt.puc-rio.br
Date: Mon, 24 Jan
2005 06:20:51 -0500 (EST)
Subject: Re: [obm-l] Medida
Exterior


Eu nao tenho certeza, msas acho que o conjunto dos
diofantinos e o dos Liouville sao mensuraveis (um eh o complementar do
outro, de modo que a mensurabilidade de um implica a do outro). Se de fato
forem, entao m(D U L) = m(D) + m(L), porque a colecao dos conjuntos
mensuraveis eh uma sigma-algebra. E as interseccoes de D e de L com
intervalos sera, entao, mensuravel, de modo que m(I) = m(I inter D) + m(I
inter L) para todo intervalo I.

Para que tenhamos m(AUB)com A e B disjuntos, eh necessario que pelo menos um dos conjuntos A ou B
nao seja mensuravel (aqui, medida de Lebesgue, mas extensivo a qualquer
medida). Conjuntos nao-mensuraveis costumam ter uma estrutura muito caotica,
acho que os diofantinos e os Liouville nao chegam a tanto (nao estou
afirmando).
Sandra




--- On Sun 01/23, Claudio Buffara
< claudio.buffara@terra.com.br > wrote:
From: Claudio Buffara [mailto:
claudio.buffara@terra.com.br]
To: obm-l@mat.puc-rio.br>Date: Sun,
23 Jan 2005 19:48:32 -0200
Subject: Re: [obm-l] Medida Exterior

on
14.01.05 10:32, Bruno Lima at bbslima@yahoo.com.br wrote:

> A medida
exterior nao é aditiva certo? Ela é apenas
> subaditiva, isso é,
>

> m(AUB)<=m(A)+m(B)
>
> A uniao acima é disjunta. alguem ai sabe
um exemplo
> que mostra a desiguladade estrita ??
>
> Valew
>
br>>
Eu tentaria achar uma particao do intervalo [0,1] em dois
subconjuntos
disjuntos, densos em [0,1] e nao-enumeraveis A e B tais que
m(A) = m(B) = 1
(serah que a particao em numeros diofantinos e de
Liouville funciona?)

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