RES: [obm-l] Medida Exterior

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. As conclusoes da Sandra me
parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao
os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas
externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem
medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de
suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1].
Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que
satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita,
temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao
um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura
um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula.
Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A,
tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e
E' o complementar de E.   
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Sandra
Enviada em: Monday, January 24, 2005 12:12 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Exterior



Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao me
lembro das definicoes exatas neste momento. Mas tenho quase certeza que o
conjunto dos diofantinos e enumeravel (ao menos o nome difantino sugere
isto...). Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modo
que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto for
mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I inter
L).
Assim, nao temos um exemplo conforme pedido pelo colega da mensagem
original. 
Sandra





 --- On Mon 01/24, Sandra < sandra-lynn0@excite.com > wrote:
From: Sandra [mailto: sandra-lynn0@excite.com]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Mon, 24 Jan 2005 06:53:42 -0500 (EST)
Subject: Re: [obm-l] Medida Exterior

<br>Acabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao
me lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos e
enumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida
nula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida
infinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I
inter D) + m(I inter L).<br>Sandra<br><br><br><br><br> --- On Mon 01/24,
Sandra < sandra-lynn0@excite.com > wrote:<br>From: Sandra [mailto:
sandra-lynn0@excite.com]<br>To: obm-l@matt.puc-rio.br<br>Date: Mon, 24 Jan
2005 06:20:51 -0500 (EST)<br>Subject: Re: [obm-l] Medida
Exterior<br><br><br>Eu nao tenho certeza, msas acho que o conjunto dos
diofantinos e o dos Liouville sao mensuraveis (um eh o complementar do
outro, de modo que a mensurabilidade de um implica a do outro). Se de fato
forem, entao m(D U L) = m(D) + m(L), porque a colecao dos conjuntos
mensuraveis eh uma sigma-algebra. E as interseccoes de D e de L com
intervalos sera, entao,  mensuravel, de modo que m(I) = m(I inter D) + m(I
inter L) para todo intervalo I.<br><br>Para que tenhamos m(AUB)<m(A)+m(B),
com A e B disjuntos, eh necessario que pelo menos um dos conjuntos A ou B
nao seja mensuravel (aqui, medida de Lebesgue, mas extensivo a qualquer
medida). Conjuntos nao-mensuraveis costumam ter uma estrutura muito caotica,
acho que os diofantinos e os Liouville nao chegam a tanto (nao estou
afirmando).<br>Sandra<br><br><br><br><br> --- On Sun 01/23, Claudio Buffara
< claudio.buffara@terra.com.br > wrote:<br>From: Claudio Buffara [mailto:
claudio.buffara@terra.com.br]<br>To: obm-l@mat.puc-rio.br<br!<br>>Date: Sun,
23 Jan 2005 19:48:32 -0200<br>Subject: Re: [obm-l] Medida Exterior<br><br>on
14.01.05 10:32, Bruno Lima at bbslima@yahoo.com.br wrote:<br><br>> A medida
exterior nao é aditiva certo? Ela é apenas<br>> subaditiva, isso é,<br>>
<br>> m(AUB)<=m(A)+m(B)<br>> <br>> A uniao acima é disjunta. alguem ai sabe
um exemplo<br>> que mostra a desiguladade estrita ??<br>> <br>> Valew<br>>
<!
br>> <br>Eu tentaria achar uma particao do intervalo [0,1] em dois
subconjuntos<br>disjuntos, densos em [0,1] e nao-enumeraveis A e B tais que
m(A) = m(B) = 1<br>(serah que a particao em numeros diofantinos e de
Liouville funciona?)<br><br>[]br>Instruções para entrar na lista, sair da
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