Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de conjuntos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

> Infelizmente não posso resolver usando analise combinatoria pois é para uma
> turma de 8ª série.
> 
> > C(8,5) = 8*7*6/(3*2) = 56 subconjuntos distintos de 5 elementos
> > distintos a partir de um conjunto de 8 elementos distintos.
> > >
> > > Gostaria de saber como resolver a seguinte questão:
> > >
> > > Dado um conjunto com 8 elementos distintos, quantos subconjuntos com 5
> > > elementos distintos podemos formar. (obs.: tenho que resolver usando
> > > matemática de 1º grau).

A minha recomendação é que ao estudar análise combinatória, 
as fórmulas sejam a última coisa a ser estudada e não a primeira.
Assim, eu resolveria este problema para alunos de 8a série
da seguinte maneira.

Num subconjunto os elementos não têm ordem.
Ao invés de contarmos conjunto, vamos primeiro contar listas
de 5 elementos distintos.

Vamos escolher o primeiro elemento da lista: temos 8 maneiras de fazer isso.
Vamos agora escolher o segundo elemento: temos 7 maneiras de fazer isso
pois um elemento já está tomado. Observe (isto é crucial) que temos *sempre*
7 maneiras de escolher o segundo elemento qualquer que tenha sido o primeiro.
Vamos escolher o terceiro: temos 6 maneiras. O quarto: 5 maneiras.
O quinto: 4 maneiras. Assim, temos 8*7*6*5*4 listas de 5 elementos.

Ora, cada conjunto corresponde a várias listas. Exatamente quantas?
Tantas quantas são as listas de 5 elementos que podemos fazer com 5 elementos.
Pelo mesmo raciocínio usado acima, temos 5 maneiras de escolher o primeiro
elemento da lista, 4 de escolher o segundo, 3 de escolher o terceiro,
2 de escolher o quarto e 1 (obviamente) de escolher o quinto.
Assim, podemos formar 5*4*3*2*1 listas de 5 elementos a partir
de um conjunto de 5 elementos. Em outras palavras,
cada conjunto de 5 elementos foi contado vezes.
Logo, o número de conjuntos é (8*7*6*5*4)/(5*4*3*2*1) = 56.

Eu evitei deliberadamente usar as palavras "fatorial", "permutação",
"arranjo" e "combinação". Acho que assim como as fórmulas, as palavras
"fatorial" e "permutação" só devem ser apresentadas ao aluno *depois*
que ele tenha entendido e feito sozinho problemas como este.
Quanto às palavras "arranjo" e "combinação", eu as baniria completamente
do ensino médio, assim como a notação C(8,5): elas são aliás
bem pouco usadas *fora* do ensino médio. A resposta do problema
acima seria descrita por quase qualquer matemático como binomial(8,5).

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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