Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

kleinad@webcpd.com wrote:

>Alguém pode ajudar?
>
>Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
>um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b <> 0 em R tal que
>b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.
>  
>
seja b_0 + ... + b_n X^n tal que

(1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0

então a_0*b_0 = 0
a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas
a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0

a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas
a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 => a_2 b_0^3 = 0

temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0.

...

E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo que inclue um "novo" a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução finita, mas isso eu deixo com você.

[ ]'s 

PS: tem uma pequena falha de argumentação, tente advinhar qual é... vou 
dar um espaço pra você corrigir minha prova...















notou que b_0 pode ser 0?
bem, nesse caso tome o primeiro b_i não nulo e aplique a mesma idéia.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================