Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

kleinad@webcpd.com wrote:

>Alguém pode ajudar?
>
>Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
>um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b <> 0 em R tal que
>b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.
>
>  
>

Consegui um resultado que talvez nos leve a resposta, mas estou sem 
tempo pra tentar fechar (...sempre assim!).

Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que
d(p), d(q) > 0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p') < 
d(p) e d(q') < d(q) tenhamos
p' q !=0 e p q' != 0.

Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m
Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i 
b_0^{i+1} = 0 para todo i.
Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^{n+1} p = 0, o que contraria a hipótese.
Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também 
caímos em contradição, mas
b_0^k q = b_0^{k+1} + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 + 
... + b_0^k b_m x^{m-1}].

Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^{m-1}, então
p q = 0 => p (b_0^k q) = 0 => p (x r) = 0 => x (p r) = 0 => p r = 0 => 
absurdo pois d(r) < d(q)!

Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte!

[ ]'s


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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