Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad@xxxxxxxxxx]

O problema é que podemos ter b_i^k = 0, não?

Domingos Jr. (dopikas@uol.com.br) escreveu:
>
>kleinad@webcpd.com wrote:
>
>>Alguém pode ajudar?
>>
>>Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
>>um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b  0 em R tal que
>>b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.
>>
>>
>seja b_0 + ... + b_n X^n tal que
>
>(1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0
>
>então a_0*b_0 = 0
>a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas
>a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0
>
>a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas
>a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 => a_2 b_0^3 = 0
>
>temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0.
>
>...
>
>E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e
b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses
polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo
que inclue um "novo" a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução
finita, mas isso eu deixo com você.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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