Re: [obm-l] Problemas em aberto

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Caros colegas:

> Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-> l desde outubro de 2004
que ainda nao foram     > resolvidos:

[]s,
Claudio.

*****

3) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
x_1 + x_2 + ... + x_r = A
de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
(ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)

Para r fixo, sabemos que o produto eh maximo se as parcelas forem iguais.
Isto pode ser provado por varias formas, tais como calculo, inducao finita,
desigualdade das medias aritmetica e geometrica (que talvez seja a mais
simples).

Para  r fixo, temos entao que o produto p(r) eh dado por p(r) = (A/r)^r, r
inteiro positivo. Para x>0, podemos encontrar o maximo da funcao p(x) =
(A/x)^x diferenciando-se p e obtendo p'(x) =  (A/x)*[ln(A/x) + x*(-1/x)]  =
A/x)*[ln(A/x) - 1]. Vemos que p' se anula se e somente se x = x* = A/e e que
p' eh negativa em (0, A/e) e positiva em (A/e, oo). Logo, p alcanca um
maximo global em x* = A/e. 
Mas r tem que ser inteiro e A/e, de modo geral, nao eh inteiro. Com p eh
estritamente crescente em  (0, A/e) e estritamente decrescente em (A/e, oo),
precisamos computar f em x1 e x2, sendo x1 = piso(A/e) e x2 = teto(A/e). Se
A/e for inteiro, teremos que x1 = x2 = r* = A/e eh o ponto de maximo. Caso
contrario, teremos que comparar p(x1) e p(x2), ecolhendo o que der maior
valor para p. Acho que nao dah para determinar analiticamente r8 em funcao
de A.
Artur   



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