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obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
<obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Continuidade
uniforme
Data: 07/01/05 21:01
on
07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:
>
Achei este problema interessante:
>
> Mostre que, se f:R ->R
eh continua, periodica e nao constante em R, entao
> g(x) = f(x^2) nao
eh uniformemente continua em R.
> Nao eh dificil mostrar isto. E com
isto, concluimos como corolario aquilo
> que jah foi aqui discutido,
ou seja, g nao eh periodica em R.
> Artur
>
Seja a > 0 o
periodo de f.
Como f eh continua, teremos que lim(n -> infinito)
f(x + y/n) = f(x),
quaisquer que sejam x e y reais.
Como f eh
nao-constante, vai existir b tal que:
0 < b < a/4 e |f(2*raiz(a*b)
- f(0)| = 2*eps > 0
Logo,
|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) -
g(raiz(n*a))| =
|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =
|f(b/n +
2*raiz(a*b)) - f(0)| > eps, para n suficientemente grande.
No
entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.
Ou
seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x -
y|
torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece
maior do
que uma quantidade positiva fixa (eps).
Logo, g nao eh
uniformemente
continua.
[]s,
Claudio.
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Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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