Re: [obm-l] Continuidade uniforme

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Achei este problema interessante:
> 
> Mostre que, se f:R ->R eh continua, periodica e nao constante em R, entao
> g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R.
> Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo
> que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R.
> Artur
> 
Seja a > 0 o periodo de f.

Como f eh continua, teremos que lim(n -> infinito) f(x + y/n) = f(x),
quaisquer que sejam x e y reais.

Como f eh nao-constante, vai existir b tal que:
0 < b < a/4  e  |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps > 0

Logo,
|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =
|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =
|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| > eps, para n suficientemente grande.
 
No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.

Ou seja, encontramos x = raiz(n*a)  e  y = x + raiz(b/n)  tais que |x - y|
torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do
que uma quantidade positiva fixa (eps).

Logo, g nao eh uniformemente continua.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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