Re: [obm-l] Problemas em aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>Caros colegas:
>
>Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que
>ainda nao foram resolvidos:
>
>[]s,
>Claudio.
>
>
>28) Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem
>um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!)
> 
>Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento composto é 30 = 2*3*5.
> 
>Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2.
> 
>Pode usar, sem demonstrar, que:
>Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6   e   Soma(n em N) 1/n^4 = Pi^4/90.
>

Para s>1, por fatoração única e convergência absoluta, 
soma(n=1 a infinito)(1/n^s)=produto(p primo)(1+1/p^s+1/p^(2s)+...)=
=produto(p primo)(1-1/p^s)^(-1) (essa é a popular fórmula de Euler).
Por razões análogas, se B = conjunto dos inteiros positivos livres de
quadrados e que têm um numero ímpar de fatores primos distintos, 
soma(n em B)(1/n^2)-soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1-1/p^2)=
=(soma(n=1 a infinito)(1/n^2))^(-1)=6/pi^2, enquanto 
soma(n em B)(1/n^2)+soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1+1/p^2)=
=produto(p primo)((1-1/p^4)/(1-1/p^2))=(pi^2/6)/(pi^4/90)=15/pi^2. Assim,
soma(n em A)(1/n^2)=(15/pi^2-6/pi^2)/2=9/(2.pi^2)=
=0,45594532639051997149745758444377....

      Abraços,
                Gugu
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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