[obm-l] Problemas em aberto

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas:

Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que
ainda nao foram resolvidos:

[]s,
Claudio.

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1) Construir uma estrutura rígida usando apenas três varetas rígidas de
mesmo comprimento e barbante, de modo que duas varetas quaisquer não se
toquem.
 
OBS para os engraçadinhos de plantão: soluções do tipo "faça um novelo de
barbante e enfie nele as varetas de modo que elas fiquem presas e não se
toquem" não serão aceitas...

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2) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y >
y^x.

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3) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
x_1 + x_2 + ... + x_r = A
de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
(ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)

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4) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
a(1) = x > 0
a(n+1) = x^a(n) para n >= 1.
Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.

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5) Um certo matemático (Banach) sempre carrega uma caixa de fósforos no seu
bolso do ladodireito e uma outra no bolso do lado esquerdo. Sempre que ele
precisa de umfósforo ele escolhe um bolso ao acaso e assim, as escolhas
sucessivas formam uma sequência de ensaios de Bernoulli, com p=1/2.
Suponhamos que, inicialmente,cada caixa contenha exatamente n palitos de
fósforo e consideremos o instante no qual, pela primeira vez, o matemático
encontra uma caixa vazia. Nesse instante a outra caixa poderá conter 0, 1,
2,...., n palitos e denotaremos as probabilidades correspondentes por Ur.
Vamos chamar de "sucesso" a escolha do bolso esquerdo. O matemático
encontrará o bolso esquerdo vazio num instante em que o bolso direito
contenha r palitos, se, e somente se, o (n+1)-ésimo sucesso for precedido
por exatamente n-r fracassos. A probabilidade desse evento é f(n-r;n+1;1/2).
O mesmo argumento se aplica ao bolso do lado direito. Determine a
probabilidade de que no instante em que se esvazia a primeira caixa,
(observe que ele não coincide com o instante em que ela é encontrada vazia)
a outra contenha exatamente r palitos (r=1, 2,...,n).

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6) Dar uma demonstracao combinatoria de que C(n) = n*C(n-1) + (-1)^n, onde
C(n) = numero de permutacoes caoticas de n objetos.

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7) Ache todos os primos p tais que (2^(p-1) - 1)/p eh quadrado perfeito.

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8) Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.

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9) Começamos com n pessoas numeradas de 1 a n sentadas ao redor de um
círculo eeliminamos cada segunda pessoa restante até sobrar uma única
pessoa. Suponha que Josefus se encontra em uma determinada posição J, mas
tem a chance de dizer qual é o parâmetro de eliminação q tal que toda
q-ésima pessoa é executada. Ele sempre pode se salvar?

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10) Seja P = A^c - B^c,
onde:
A, B e c são inteiros e primos entre si,
A - B > 1, 
c = n1*n2*...*ni*...nk ,
(os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem k fatores
primos distintos).

Mostre que P é um número composto com, no mínimo, k+1
fatores primos distintos.

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11) Let S be a set of nm+1 intervals in the real line.  Prove that S
contains either n+1 pairwise disjoint intervals or m+1 intervals with
nonempty intersection.
 
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12) Let ABCD be a quadrilateral such that |BC|=|AD| and angles ABC and ACD
are supplementary.  Prove that AB is parallel to CD.

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13) Considere um eneagono regular inscrito numa circunferencia. Existem
Binom(9,3) = 84 triangulos cujos vertices coincidem com os vertices do
eneagono. Quantos destes triangulos tem o centro da circunferencia no seu
interior?

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14) Utilizando-se dois dados, qual o número médio de lançamentos duplos para
obtermos todas as somas possíveis?

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15) Construir um quadrilatero ABCD dados os ângulos e as diagonais.

OBS: Se as diagonais forem iguais e os quatro angulos forem retos, teremos
uma infinidade de quadrilateros satisfazendo o enunciado. Um quadrado e um
monte de retangulos. Existe outra situacao onde a solucao nao eh unica?
Existe alguma situacao onde a solucao nao existe?

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16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.

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17) Circle with center in point H is inscribed into convex quadrilateral
ABCD, point H doesn't lie on line AC. Diagonals AC and BD intersect
at point F. Line passing through point F and perpendicular to line
BD, cuts lines AH and CH in points R and S respectively. Prove that
RF=FS.

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18) Considere P, o conjunto das permutações de n elementos. Se escolhermos
ao acaso uma permutação p de P, qual o número esperado de inversões em p?
Suponha equiprobabilidade na escolha de p.

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19) E se P for o conjunto das permutações *caóticas* de n elementos?
Pode-se afirmar pelo menos alguma coisa sobre o comportamento assintótico
dessa média?

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20) Seja f: S = {2, 3, 4, 5, 6, ...} -> S a função que leva um número n no
seu número de fatores primos. Por exemplo, f(6) = 2 e f(12) = f(8) = 3.
Quanto vale lim[n->inf] (f(2) + f(3) + ... + f(n))/(n-1)?

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21) E se f associar n ao seu número de fatores primos *distintos*? Por
exemplo, f(6) = 2 mas f(12) = 2 e f(8) = 1?

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22) Pegue um origami pronto e desmonte-o. Considere o diagrama de
dobras do origami, i.e. desenhe um segmento em cima de cada dobra,
independente da dobra ser para dentro ou para fora. Considere um ponto P
no interior da folha de papel, extremo de pelo menos um segmento do
diagrama. Prove:

(a) que o grau de P (i.e. o número de segmentos que lhe incidem) é par
(b) que se numerarmos os ângulos em torno de P sequencialmente, então a
soma dos ângulos pares é igual à soma dos ângulos ímpares.

Naturalmente, o origami do enunciado é ideal -- creio que supor que o
papel tem espessura zero, as dobras são todas perfeitas e que o origami
está contido na união de um número finito de planos deve ser suficiente
para garantir o resultado.

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23) Comente as definicoes abaixo:

TRAPEZIO: quadrilatero convexo com pelo menos dois lados paralelos
(obviamente os dois lados paralelos devem ser opostos pois, se fosse
adjacentes, o quadrilatero seria degenerado)
 
TRAPEZIO ISOSCELES:
Seja ABCD um trapezio em que AB // CD.
ABCD serah um TRAPEZIO ISOSCELES se e somente se DAB = ABC.
 
Assim, todo paralelogramo eh trapezio. Alem disso, um paralelogramo soh
serah um trapezio isosceles se for retangulo.

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24) ABCD eh um quadrilatero convexo e base de uma piramide de vertice P.
Prove que existe um plano que intersecta as arestas PA, PB, PC e PD nos
pontos A', B', C' e D' de modo que A'B'C'D' seja um paralelogramo.
 
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25) Let PQRS be a rectangle and let ABCD be a quadrilateral inscribed in
PQRS so that each of its vertices lies on a different side of PQRS.  Show
that the perimeter of ABCD is at least twice as large as |PR|. When does
equality hold?

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26) Precisamos do axioma da escolha para provar que a + a = a se a e um
cardinal infinito?

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27) Sendo a, b, c, x reais positivos, prove a desigualdade:

(a^(x+2) + 1)/(a^x*b*c + 1) + (b^(x+2) + 1)/(a*b^x*c + 1) +
(c^(x+2) + 1)/(a*b*c^x + 1) >= 3

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28) Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem
um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!)
 
Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento composto é 30 = 2*3*5.
 
Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2.
 
Pode usar, sem demonstrar, que:
Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6   e   Soma(n em N) 1/n^4 = Pi^4/90.

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29) Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um
que
eh primo com os demais.

Pergunta: 10 eh o melhor possivel?


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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