Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Um fato que ajuda (muito!) é saber que integral(0; x)[1/(1-t)]dt = - log (1 -
 x). Mas 1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^(n-1) + r_n(t), com r_n(t) = t^n/
(1-t).

Substituindo e integrando termo a termo, vem (para x < 1)

- log(1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + R_n(x), onde

R_n(x) = integral(0; x)[r_n] dt = integral(0; x)[t^n/(1 - t)]dt.

Suponha que -1 <= x <= 0; é preciso mostrar que R_n --> 0. Neste intervalo,
|t^n/(1 - t)| <= |t^n| = (-1)^n*t^n. Então

|R_n|<= |integral(0;x)[t^n]dt| = |x|^(n+1)/(n+1) que tende a zero quando n --
> +oo, portanto

- log (1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ...

==> log (1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...)

Substituindo x = -1, vem o resultado desejado.

[]s,
Daniel

Ana Evans (ana_ev@yahoo.com) escreveu:
>
>Oi pessoal
>Eu estou tentando provar que a serie alternada
>Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3....converge para
>Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge
>porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear no
>fato de que, para |x| series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) =
>x - x^2/2 + x^3/3....Mas, sabemos que o raio de
>convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo
>que converge garantidamente apenas  em (-1, 1), e nao
>podemos extender a conclusao para x=1, o que nos
>levaria ao desejado. Eu ai tentei extender  o dominio
>da funcao limite da serie de potencias, incluindo
>tambem x=1, mas como a convergencia nao eh
>necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la.
>Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela
>expansao de Taylor.
>Obrigada
>Ana
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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