Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi, Ana.

A saída é pela expansão de Taylor sim, mas é para a derivada. Ou seja, faça
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...
Esta série converge (absolutamente) em (-1, 1), pois é limitada pela
soma da P.G. em 1/(1 - |x|). Além disso, podemos integrar termo a
termo a série em QUALQUER intervalo do tipo [-r, r] com r<1, pois
neste intervalo a convergência é uniforme (limitada por 1/(1-r) ).

A série converge, portanto, para Ln(1+r), para todo -1 < r < 1. Como a
série integrada converge no ponto x=1 (você mesmo provou: alternada e
decrescente em módulo), e ela é uma série de potências, podemos
garantir que a série converge no limite r-> 1 também (este passo é um
pouco mais difícil do que parece: tente provar, vale a pena!. Integre
até 1-eps e faça eps->0, veja que você pode fazer isso e obtenha o
resultado), e portanto está provado.

Qualquer dúvidas, fale.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Tue, 21 Dec 2004 05:14:11 -0800 (PST), Ana Evans <ana_ev@yahoo.com> wrote:
> Oi pessoal
> Eu estou tentando provar que a serie alternada
> Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3....converge para
> Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge
> porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear no
> fato de que, para |x| <1, podemos expandir Ln(1+x) em
> series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) =
> x - x^2/2 + x^3/3....Mas, sabemos que o raio de
> convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo
> que converge garantidamente apenas  em (-1, 1), e nao
> podemos extender a conclusao para x=1, o que nos
> levaria ao desejado. Eu ai tentei extender  o dominio
> da funcao limite da serie de potencias, incluindo
> tambem x=1, mas como a convergencia nao eh
> necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la.
> Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela
> expansao de Taylor.
> Obrigada
> Ana
> 
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