Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Acho que o seu encaminhamento estah perfeito e me
parece que eh de fato a forma mais natural de provar o
desejado. Soh faltou o arremate final, que podemos dar
chamando o Abel. Parece que vc ainda nao teve
oportunidade de conhecer o teorema dele, que, como se
dizia antigamente, cai como uma luva para este caso. 
O teorema de Abel diz o seguinte: suponhamos que uma
serie de potencias Soma(a_n*x^n) tenha raio de
convergencia 1 (o teorema eh facilmente generalizavel
para qualquer raio), convergindo assim em (-1,1) para
uma funcao f. Suponhamos tambem que a serie de numeros
reais Soma(a_n) convirja. Se extendermos o dominio de
f para (-1, 1] definindo f(1) =  Soma(a_n), entao a
serie de potencias converge automaticamente em (-1, 1]
para a f extendida e -o que eh o ponto chave do
teorema - a convergencia eh uniforme em [0,1].
Considerando agora os conhecidos teoremas sobre
convergencia uniforme de sequencias e de series de
funcoes, concluimos que f eh continua tambem em x =1 e
que, portanto, lim (x->1) f(x) = f(1) = Soma(a_n). 
Particularizando para o caso em questao e levando em
conta os seus argumentos, concluimos imediatamente que
1 -1/2 +1/3.... = lim (x->1) Ln(1+x) = Ln(2).

Uma outra forma de demonstrarmos a proposicao eh
considerar que Ln(2) = Integral (de 1 a 2) 1/x dx e
trabalhar com somas de Riemann. 
Artur 

> Eu estou tentando provar que a serie alternada
> Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3....converge para
> Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge
> porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear
> no
> fato de que, para |x| <1, podemos expandir Ln(1+x)
> em
> series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x)
> =
> x - x^2/2 + x^3/3....Mas, sabemos que o raio de
> convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo
> que converge garantidamente apenas  em (-1, 1), e
> nao
> podemos extender a conclusao para x=1, o que nos
> levaria ao desejado. Eu ai tentei extender  o
> dominio
> da funcao limite da serie de potencias, incluindo
> tambem x=1, mas como a convergencia nao eh
> necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei
> la.
> Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela
> expansao de Taylor.
> Obrigada
> Ana



		
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