[obm-l] ITA: Questao 26

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

  Eu gostei bastante da prova do ITA desse ano! Achei ela com bastante 
pegadinha também, e mais difícil que a do ano passado..
  Quanto a questão 26, a solucao pode ser curta usando um pouco de 
trigonometria como abaixo..(mas admito que fiz do jeito convencional 
primeiro e soh quando vi um sqrt(2)/2 eh que pensei em trigonometria :) )
Problema: Dado um parâmetro m, determine x tal que sqrt(1+mx) = x + 
sqrt(1-mx). Para que valores de m ha x real nao nulo satisfazendo a equacao?

Solucao: Restricao: -1 <= mx <= 1, logo existe a tal que mx = cos(a), 
0<=a<=pi, donde 1+mx = 2cos^2(a/2) e 1-mx = 2sen^2(a/2), 0<=a/2<=pi/2
A equacao pode entao ser reescrita como sqrt(2)*cos(a/2) - sqrt(2)*sen(a/2) 
= cos(a)/m => 2m*cos(a/2 + 45) = cos(a)
Como cos(a) = sen(a+90) = 2sen(a/2+45)cos(a/2+45), a equacao se transforma 
em 2m = 2sen(a/2+45).
  Como a estam em [0,pi/2), temos automaticamente m >= sen(45) e m <=1. Por 
outro lado, x = cos(a)/m = sen(a+90)/m = 2*sen(a/2+45)*cos(a/2+45)/m, logo x 
= 2sqrt(1-m^2).

Abraços..

----- Original Message ----- 
From: "Eduardo Henrique Leitner" <eduardo.leitner@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, December 15, 2004 10:22 PM
Subject: Re: [obm-l] questao do ITA furada


>a 26 eu achei particularmente complicada...
> mesmo que eu soubesse fazer, nao havia espaço para fazer uma resolução 
> como a que o etapa fez...
>
> no geral eu achei que essa prova estava tao ou mais fahcil que a do ano 
> passado... sei lah, eu nao mando muito bem em matemática [pelo menos, é o 
> que as olimpiadas mostram) e consegui fazer todas (exceto 2 erros tolos em 
> questoes objetivas do tipo: 107/280 = 0,34...; e achar a semi-distância 
> focal quando foi pedida a própria distancia focal, e essa 26 que realmente 
> nao consegui]
>
> nao sei se com essa prova eles conseguiram selecionar muita coisa... tenho 
> certeza de que existem MUITAS pessoas que fizeram a prova que sao melhores 
> que eu e devem ter ficado com notas parecidas...
>
> On Wed, Dec 15, 2004 at 09:46:43PM -0200, Fabio Niski wrote:
>> Eles tb nao divulgaram a 20 e 26.
>> Pode ser que seja isso, ou pode ser que o pessoal ta tomando um café.
>>
>>
>> Eduardo Henrique Leitner wrote:
>>
>> >aa, entao deve ser por isso que o anglo ainda nao divulgou a resolucão 
>> >da
>> >questao 30... eles devem estar tentando considerar que x pode ser
>> >complexo...
>> >
>> >Questão 30. Determine todos os valores reais de a para os quais a 
>> >equação
>> >
>> >             (x-1)^2 = |x - a|
>> >
>> >admita exatamente três soluções distintas.
>> >
>> >hehehe, eles devem estar tendo moh trabalhão...
>> >
>> >
>> >On Wed, Dec 15, 2004 at 07:47:42PM -0200, Claudio Buffara wrote:
>> >
>> >>on 15.12.04 19:21, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:
>> >>
>> >>
>> >>>A questao 11 do ITA "No desenvolvimento de (ax^2 + -2bx + c + 1)^5
>> >>>obtem-se um polinomio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 sao
>> >>>raizes de p(x), entao a soma a + b + c é igual a
>> >>>a) -1/2 b) -1/4 c) 1/2 d)1 e)3/2
>> >>>
>> >>>Pelo o que eu vi, Etapa, Poliedro e Objetivo marcaram A.
>> >>>O Anglo observou corretamente que existem 5 possiveis valores 
>> >>>possiveis
>> >>>pra soma e a questao deveria ser cancelada.
>> >>>
>> >>
>> >>Essa eh complicada. Nao ha nada no enunciado que diga que a deve ser 
>> >>real,
>> >>apesar dessa ser uma hipotese razoavel.
>> >>
>> >>Qual foi o veredito?
>> >>
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>> >>=========================================================================
>> >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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