Re: [obm-l] ITA: Questao 26

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 16.12.04 06:17, Marcio Cohen at marciocohen@superig.com.br wrote:

> Eu gostei bastante da prova do ITA desse ano! Achei ela com bastante
> pegadinha também, e mais difícil que a do ano passado..
> Quanto a questão 26, a solucao pode ser curta usando um pouco de
> trigonometria como abaixo..(mas admito que fiz do jeito convencional
> primeiro e soh quando vi um sqrt(2)/2 eh que pensei em trigonometria :) )
> Problema: Dado um parâmetro m, determine x tal que sqrt(1+mx) = x +
> sqrt(1-mx). Para que valores de m ha x real nao nulo satisfazendo a equacao?
> 
> Solucao: Restricao: -1 <= mx <= 1, logo existe a tal que mx = cos(a),
> 0<=a<=pi, donde 1+mx = 2cos^2(a/2) e 1-mx = 2sen^2(a/2), 0<=a/2<=pi/2
> A equacao pode entao ser reescrita como sqrt(2)*cos(a/2) - sqrt(2)*sen(a/2)
> = cos(a)/m => 2m*cos(a/2 + 45) = cos(a)
> Como cos(a) = sen(a+90) = 2sen(a/2+45)cos(a/2+45), a equacao se transforma
> em 2m = 2sen(a/2+45).
> Como a estam em [0,pi/2), temos automaticamente m >= sen(45) e m <=1. Por
> outro lado, x = cos(a)/m = sen(a+90)/m = 2*sen(a/2+45)*cos(a/2+45)/m, logo x
> = 2sqrt(1-m^2).
> 
> Abraços..
> 
Muito interessante esta questao. Eu tive uma outra ideia, um pouco mais
trabalhosa, mas menos "magica" (espero!):

Se m = 0, eh claro que a unica raiz eh x = 0, a qual nao serve.

Suponhamos, inicialmente, que m > 0.
Consideremos a funcao F:[-1/m,1/m] -> R dada por:
F(x) = sqrt(1+mx) - sqrt(1-mx).

Eh facil ver que F(0) = 0 e F(x) = -F(-x), para todo x no dominio de F.

Estamos interessados em achar x <> 0 tal que F(x) = x.

Naturalmente, F eh continua em [-1/m,1/m] e pelo menos duas vezes
diferenciavel em (-1/m,1/m). Logo, para x em (-1/m,1/m) vale:
F'(x) = (m/2)*(1/sqrt(1+mx) + 1/sqrt(1-mx)) > 0, para todo x em (-1/m,1/m)
e
F''(x) = (m^2/4)*(1/(1-mx)^(3/2) - 1/(1+mx)^(3/2)) > 0, para x em (0,1/m).

Assim, a fim de que exista um ponto fixo x > 0, eh necessario e suficiente
que F'(0) < 1  e  F(1/m) >= 1/m ==>
m < 1  e   sqrt(2) >= 1/m ==>
sqrt(2)/2 <= m < 1.

Suponhamos agora que m < 0.
Nesse caso, F'(x) < 0 para todo x em (1/m,-1/m) e disso significa que o
unico ponto fixo de F eh x = 0, o qual nao serve.

Logo: sqrt(2)/2 <= m < 1.
 
Dada esta condicao sobre m, resta achar o ponto fixo:
sqrt(1+mx) - sqrt(1-mx) = x ==>
2 - 2*sqrt(1-m^2x^2) = x^2 ==>
2 - x^2 = 2*sqrt(1 - m^2x^2) ==>
4 - 4x^2 + x^4 = 4 - 4m^2x^2 ==>
x^4 - 4(1 - m^2)x^2 = 0 ==>
x = 0  ou  x = -2*sqrt(1 - m^2)  ou  x = 2*sqrt(1 - m^2).

Desprezando a raiz x = 0, achamos os dois pontos fixos de F:
x = -2*sqrt(1 - m^2)  e  x = 2*sqrt(1 - m^2).
(como F eh impar, x serah um ponto fixo se e somente se -x o for).

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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