Re: [obm-l] integral

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] integral
Data: 15/12/04 20:32


1- Se f eh r-integravel entao f^2 tambem eh (justifique)
Ha um teorema (tem em qualquer livro de calculo, baseado em particoes, e
somas de Riemann) que diz que, se f eh Riemann integravel em [a,b] e g eh
continua em f([a,b]), entao gof eh integravel em [a,b]. Se fizermos g(t) =
t^2, concluimos que f^2 eh integravel [a,b].
Outra forma de ver isto quando se tem um poquinhoquinho mais de conhecimento
eh usar o criterio de Lebesgue para a integrabilidade de Riemann. Lebesgue
provou que f eh Riemann integravel em [a,b] se, e somente se, neste
intervalo, f for limitada e o conjunto de suas descontinuidades tiver medida
(de Lebesgue) nula. Dizer que um subconjunto A de R tem medida nula - ou que
A eh nulo - sigifica que, para todo eps>0, existe uma cobertura enumeravel
de A por intervalos de comprimento l_n tal que Soma(i=1, oo) l_n < eps. Como
subconjuntos de conjuntos nulos sao nulos e gof eh continua sempre que f
for, a conclusao acima citada - tanto para f^2 como para gof, em geral - eh
imediata. 


2- Se f^2 eh r-integravel entao f tambem eh (justifique)
Imposivel justificar, porque isto eh falso. Talvez alguem jah tenha dada o
um contra-exemplo, mas, se ainda nao deram, pense numa funcao similar aa
Dirichilet, descontinua e limitada em [a,b] mas tal que f^2 seja continua. 

Artur


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