Re: [obm-l] Teoria dos anéis

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Claudio Buffara (claudio.buffara@terra.com.br) escreveu:
>
>on 19.11.04 21:14, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:
>
>> 1) Seja R um anel tal que os únicos ideais à direita de R sejam 0 e R.
>> Demonstrar que R é um anel com divisão ou R é um anel com um número primo
de
>> elementos no qual ab = 0 para todos a,b em R.
>>
>Seja S = conjunto de todas as somas finitas da forma:
>a_1*b_1 + a_2*b_2 + ... + a_n*b_n, onde os a_i e b_i pertencem a R.
>Eh facil ver que S eh um ideal de R.
>
>Logo, S = (0) ou S = R.
>
>Se S = (0), entao a*b = 0 para quaisquer a, b em R.
>Seja (H,+) um subgrupo do grupo aditivo (R,+).
>Com esta definicao de *, (H,+,*) serah um ideal de R.
>Logo, H = R ou H =  ==>
>(H,+) eh um subgrupo trivial de (R,+) ==>
>(R,+) eh um grupo ciclico de ordem prima ==>
>(R,+,*) eh um anel com um numero primo de elementos e tal que a*b = 0 para
>quaisquer a, b em R.
>
>Se S = R, basta provar que R contem 1 e usar a sua demonstracao de que,
>nesse caso, R eh um anel com divisao. Mas ainda nao consegui provar isso.

Suponha que S = R. Para todo a em R, seja D_a = (x em R : ax = 0). D_a é
ideal à direita, logo D_a = (0) ou D_a = R.

Como S = R, existe x em R tal que para algum y em R, xy <> 0 ==> D_x = (0).

Mas se houver a em R-(0) tal que ab = 0 para b <> 0, então D_a = R. Logo H =
(0, a) é ideal à direita não trivial, absurdo visto que existe ao menos
outro elemento x em R. Assim, D_a = (0) para todo a em R, donde R é anel de
integridade e valem ambas as leis do cancelamento do produto.

Seja A = (ax: x está em R). A é ideal à direita e como R é anel de
integridade, temos A = R. Logo, existe u em R tal que au = a e existe b em R
tal que ab = u.

1) au = a ==> au^2 = au ==> u^2 = u.

2) ab = u ==> (au)b = u ==> a(ab)b = ab = (ab)^2 ==> ab = ba = u.

3) au = a ==> uau = ua = u^2a ==> au = ua.

4) todo c em R pode ser escrito como c = ax ==> uc = (ua)x = ax = c.

5) para todo c em R, uc = c ==> ucu = cu = cu^2 ==> uc = cu = c.

Logo, u é elemento unidade de R. Para todo a em R-(0) podemos repetir a
construção do conjunto A, a implicação A = R, e usar o item 2 para mostrar
que todo elemento não nulo em R tem inverso, logo R é anel com divisão.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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