Re: [obm-l] Área

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Maurizio (mauz_c@terra.com.br) escreveu:
>
>1. Encontre um valor de a, de forma que a área S(A) limitada pelas
>curvas y=x^2(x-2) e y=ax(x-2), seja mínima. Assuma 0<a<2.

Sejam y_1 = x^2(x-2), y_2 = ax(x-2) e f(x) = y_1 - y_2 = x(x-2)(x-a). Se x
está em (0,a), f(x) > 0 ==> y_1 > y_2. Se x está em (a,2), f(x) < 0 ==> y_2
> y_1.

Logo S(a) = integral(0,a)(f(x))dx - integral(a,2)(f(x))dx.

Calculando, vem

S(a) = (-1/6)a^4 + (2/3)a^3 - (4/3)a + (4/3)
==> S'(a) = (-2/3)*a^3 + 2a^2 - (4/3),

que por sorte se anula em a = 1. A partir daí, vemos que as outras raízes
são 1 + raiz(3) e 1 - raiz(3). Só nos interessa portanto a = 1. Como S''(a)
= -2a^2 + 4a, tem-se S''(1) = 2 > 0, logo S(1) é ponto de mínimo.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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