Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6

[Artur Posenato <posenato@xxxxxxxxx>]

Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha
caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha
recebido este seu e-mail.

Artur
--- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

> 
> Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas
> sobre Limites e mostrar
> uma questão legal.
> 
> 1) A definição de limite que eu vi foi feita em
> intervalo aberto. Por que em
> intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e
> se não por que?
> ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
> número real a seja f uma
> função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi,
> Fundamentos do Matemática
> Elementar).
> Eh importante que seja um intervalo aberto para
> garantir que a condicao
> |f(x) - L| < eps seja atendida nao importa como que
> x se aproxine de a. Se
> vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser
> possivel garantir esta
> condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem
> funcoes definidas em r^n,
> n>=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma
> infinidade de possibilidaes.
> 
> 
> 
> 2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
> parte ele fala sobre ser
> importante perceber que (delta) depende de
> (épsilon), não percebi isso e
> além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
> deva depender também do
> (delta)...
> Vc primeiro estavbelece arbitrariamente o valor de
> epsilon. Para este
> epsilon, vc tem que encontra um delta que satisfaca
> aa definicao de limite.
> De modo geral, o delta depende do epsilon o do valor
> de a no qual se avalia
> o limite. Isto eh, de modo geral, o valor de delta
> associadao a um epsilon
> que funciona para um dado a nao funciona para todos
> os pontos de acumulacao
> do dominio da funcao. Por exemplo, a funcao f(x) =
> x^2 apreenta limite em
> todo os elementos de R (eh continua), mas, fixado
> eps, a escolha do delta
> sempre vai depender de x. ja para a funcao
> identidade f(x) = x eh possivel,
> para um mesmo eps, achar um delta que funcione para
> todos o reais x. Isto
> esta ligado ao conceito de continuidade uniforme. 
> 
> 
> 3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
> não entendi aquela do
> livro do iezzi por redução ao absurdo...
> (observação: sei o que é redução ao
> absurdo mais não entendi uma parte do
> desenvolvimento).
> 
> Ele provavelmente fez algo deste tipo: Suponhamos
> que, em um ponto a, f
> apresente limites distintos L1 e L2. Seja r = |L1
> -L2|/2. Entao, r>0 e os 
> intervalos abertos I1 e I2, de raio r e centros em
> L1 e L2, nao se
> intesectam. Pela definicao de limite, existem reais
> positivos d1 e d2 tais
> que,  f(x) estah em I1 se x estiver no dominio de f
> e 0<|x-a| <d1, e  f(x
> estah em I2 se x estiver no dominio de f e 0<|x-a|
> <d2. Temos entao que d =
> minimo{d1, d2} eh positivo e que, se x estiver no
> dominio de f e 0<|x-a| <d,
> entao f(x) estah em I1 e f(x) estah em I2. Isto
> signfica que I1 e I2 contem
> em comum o elemento f(x), contrariamente aa
> conclusao anterior de que sao
> disjuntos. Logo, o limite de f em um ponto de
> acumulacao de seu dominio, se
> existir, eh unico.
> 
> Artur
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