[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas sobre Limites e mostrar
uma questão legal.

1) A definição de limite que eu vi foi feita em intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para garantir que a condicao
|f(x) - L| < eps seja atendida nao importa como que x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem funcoes definidas em r^n,
n>=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma infinidade de possibilidaes.



2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa parte ele fala sobre ser
importante perceber que (delta) depende de (épsilon), não percebi isso e
além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não deva depender também do
(delta)...
Vc primeiro estavbelece arbitrariamente o valor de epsilon. Para este
epsilon, vc tem que encontra um delta que satisfaca aa definicao de limite.
De modo geral, o delta depende do epsilon o do valor de a no qual se avalia
o limite. Isto eh, de modo geral, o valor de delta associadao a um epsilon
que funciona para um dado a nao funciona para todos os pontos de acumulacao
do dominio da funcao. Por exemplo, a funcao f(x) = x^2 apreenta limite em
todo os elementos de R (eh continua), mas, fixado eps, a escolha do delta
sempre vai depender de x. ja para a funcao identidade f(x) = x eh possivel,
para um mesmo eps, achar um delta que funcione para todos o reais x. Isto
esta ligado ao conceito de continuidade uniforme. 


3) A demonstração do teorema da unicidade do limite, não entendi aquela do
livro do iezzi por redução ao absurdo... (observação: sei o que é redução ao
absurdo mais não entendi uma parte do desenvolvimento).

Ele provavelmente fez algo deste tipo: Suponhamos que, em um ponto a, f
apresente limites distintos L1 e L2. Seja r = |L1 -L2|/2. Entao, r>0 e os 
intervalos abertos I1 e I2, de raio r e centros em L1 e L2, nao se
intesectam. Pela definicao de limite, existem reais positivos d1 e d2 tais
que,  f(x) estah em I1 se x estiver no dominio de f e 0<|x-a| <d1, e  f(x
estah em I2 se x estiver no dominio de f e 0<|x-a| <d2. Temos entao que d =
minimo{d1, d2} eh positivo e que, se x estiver no dominio de f e 0<|x-a| <d,
entao f(x) estah em I1 e f(x) estah em I2. Isto signfica que I1 e I2 contem
em comum o elemento f(x), contrariamente aa conclusao anterior de que sao
disjuntos. Logo, o limite de f em um ponto de acumulacao de seu dominio, se
existir, eh unico.

Artur


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