Re: [obm-l] dúvidas de limite

[Artur Posenato <posenato@xxxxxxxxx>]

--- André Barreto
<andre_sento_se_barreto@yahoo.com.br> wrote:

Olá André.

    É bem provável que eu não seja a passoa mais
indicada para responder, mas caso eu esteja errado
espero que alguém me corrija.

> 1) A definição de limite que eu vi foi feita em
> intervalo aberto. Por que em intervalo aberto?
> Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
> ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
> número real a seja f uma função definida para x E I
> - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
> Elementar).

    Utiliza-se intervalo aberto pois para existência
do limite no ponto não é necessário que a função seja
contínua neste ponto, ou sequer ela precisa ser
definida, como por exemplo f(x)=sen(x)/x, onde o
limite x->0 é um, mas a função não é definida em zero.

  
> 2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
> parte ele fala sobre ser importante perceber que
> (delta) depende de (épsilon), não percebi isso e
> além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
> deva depender também do (delta)...
  
    Da definição de limite tem-se: "Para todo epsilon
existe um delta..." e não o contrário. Vou dar um
exemplo: Embora lim [x->1] (1/x) = 1 é verdadeiro, não
é verdadeiro que para todo delta existe um epsilon com
|1/x - 1|<epsilon para 0<|x-1|<delta. De fato, se
delta=1, não existe tal epsilon, como 1/x pode ser
arbitrariamente grande para 0<|x - 1|<1.

    Além disso, qualquer função limitada f
automaticamente satisfaz a condição quer
lim[x->a]f(x)=l é verdade ou não.

    Este é um dos exercícios do livro 'Calculus -
Michael Spivak', se quiser saber um pouco mais é um
livro bom, se quiser se aprofundar mais talvez um
livro de análise.

> 3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
> não entendi aquela do livro do iezzi por redução ao
> absurdo... (observação: sei o que é redução ao
> absurdo mais não entendi uma parte do
> desenvolvimento).

    Não sei como é a do Iezzi, mas segue uma
alternativa que deve ter em qualquer livro de cálculo.

    Suponha que o limite não é único, entao:
d = delta e E = Epsilon

lim[x->a]f(x) = l e lim[x->a]f(x) = m, daí:

0<|x-a|<d1 => |f(x) - l|<E e 0<|x-a|<d2 => |f(x) -
m|<E.

Como é para qualquer E, escolho o mesmo E para os
dois.
Escolhento d = min(d1,d2), então:
0<|x-a|<d => |f(x) - l|<E e |f(x) - m|<E.

Se l é diferente de m, então |l-m|>0, então tomo E =
|l-m|/2. Daí:

0<|x-a|<d => |f(x) - l|<|l-m|/2 e |f(x) - m|<|l-m|/2.

Assim:
|l-m| = |l+ f(x) - f(x) -m| < ou = |l-f(x) + |f(x) -
m| < |l-m|/2 + |l-m|/2 = |l-m|.

Absurdo.

Ok, espero ter ajudado. Espero também não ter cometido
nenhum erro, qualquer coisa me escreva.

Artur


		
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