Eu fiz assim
Montadas as equações
a(b+c+d+e+f)= 264
b(a+c+d+e+f)= 325
c(a+b+d+e+f)= 549
d(a+b+c+e+f)= 825
e(a+b+c+d+f)= 901
f(a+b+c+d+e)= 1000
Primeiro perceber que 901 é igual a 17 X 53 e esses dois são primos ou seja...
e(a+b+c+d+f)= 901
ou a letra ( e ) é igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa...
bem com isso vou tentar descobrir quem é a letra ( f )...
vou pegar essa equação f(a+b+c+d+e)= 1000
da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17)
e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 então => (a+b+c+d+f) = 53 ou seja:
(a+b+c+d) = 53 – f
Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 –f +e)= 1000, mas nessa suposição o ( e ) é igual a 17 então f(53 – f +17) = 1000.
Pronto mas agora você já pode perceber que se você invertese quem era 17 e 53 você chegaria na mesma expressão! Seria bem assim f(17 – f + 53) = 1000 que é a mesma coisa... resultado interesante...
Você vai tentar com as outras incognitas e vai achar equações do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando você calcular as raízes de ( f ) você vai achar 50 e 20.
e(a+b+c+d+f)= 901
olha bem essa... se o ( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equações do segundo grau todas as possíveis raízes são positivas, só para você não pensar que as raízes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro).
Você já sabe que a incognita ( e ) é 17. Mas as outras incognitas todas com exceção da letra ( f ) tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a ( f ) perde uma de suas raízes... Você sabe todas raízes menos a ( f ). Mas achar a ( f ) é fácil, (a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja ( f ) só pode ser 20.
O resultado que ele quer é a soma de todas as raízes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70.
Resposta letra D
Legal sua resolução Cláudio, Obrigado.
Alguém por favor, me ajude nas dúvidas de limites.
Atenciosamente
André Sento Sé Barreto
on 08.11.04 03:45, André Barreto at andre_sento_se_barreto@yahoo.com.br wrote:
Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale?
a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86
Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f.
Seja S = a + b + c + d + e + f.
Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000.
Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos:
S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864.
De cara, concluimos que S^2 > 3864 ==>
S > 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c).
Suponhamos que S = 86.
Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 ==>
f^2 - 86*f + 1000 = 0 ==>
delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 <> quadrado perfeito ==>.
S soh pode ser igual a 70 ==> alternativa (d).
Testando:
f*(70 - f) = 1000 ==> f = 20 ou f = 50
e*(70 - e) = 901 ==> e = 17 ou e = 53
d*(70 - d) = 825 ==> d = 15 ou d = 55
c*(70 - c) = 549 ==> c = 9 ou c = 61
b*(70 - b) = 325 ==> b = 5 ou b = 65
a*(70 - a) = 264 ==> a = 4 ou a = 66
Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20.
Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria?
[]s,
Claudio.