Re: [obm-l] Seq��ncia num�rica

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Artur Posenato (posenato@yahoo.com) escreveu:
>
>D�vidas:
>
>> Fa�a f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
>> N�o � muito dif�cil verificar que quer formalmente
>> quer quando isto faz sentido,
>> f(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...)^2.
>
>    Voc� poderia provar essa rela��o acima? Sem
>assumir que os termos da seq��ncia original n�o
>crescem indefinidamente?

Bem, g(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + - ... � uma s�rie que converge absolutamente
para |x| < 1. Isso pode ser visto pelo crit�rio de Leibnitz, pois � uma
s�rie alternada e |x^n| tende de forma decrescente para 0 se |x| < 1. Isso
nos permite multiplicar g(x)*g(x) para obter f(x) = (1 - x + x^2 - + ...)^2
com intervalo de converg�ncia -1 < x < 1.

Como g(x) � absolutamente convergente (para |x| < 1), ent�o f(x) tamb�m � e
podemos associar e comutar os termos do produto g^2, obtendo a rela��o f(x)
= 1 - 2x + 3x^3 - 4x^3 + - ...

>> Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... � a soma de
>> uma PG
>> e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em
>> algum sentido,
>> f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
>
>    Essa equa��o para soma de PG � o resultado de um
>limite quando 0<x<1, e voc� est� usando para x=1.

Concordo com voc�, embora o Nicolau tenha feito a ressalva "em algum
sentido"... Mas que sentido?

>Al�m disso f(x) = 1/(1+x) onde x = 1 � 1/2 e me parece
>muito contra-intuitivo que a soma de n�meros naturais
>resulte em n�meros irracionais (mas, posso estar
>enganado pois constantemente me surpreendo com os
>limites).

Voc� quis dizer n�meros inteiros e n�meros racionais, n�o? E est� certo!
Nenhuma s�rie convergente envolvendo inteiros pode resultar num n�mero n�o
inteiro... Isso decorre do fato de que uma tal s�rie converge se (e somente
se) existe um n�mero finito de termos n�o nulos. Havendo portanto apenas um
n�mero finito de inteiros a somar, isso prova que neste caso a intui��o est�
certa, pois a soma de um n�mero finito de inteiros � ainda um inteiro.

>    Para mim, a forma mais natural de analisar seria:
>
>0 + 1 - 2 + 3... = (1 + 3 + 5 + ...)-(2 + 4 + 6 ...)
>
>que s�o duas PA's,  onde SPA = (a1 + an)n/2 e agora as
>suposi��es.1 - Soma-se sempre um n�mero par seguido de
>um �mpar? (assim n seria igual para as duas PA�s) ,
>etc...

Nem sempre � poss�vel usar associatividade e comutatividade para um n�mero
infinito de termos numa s�rie. Neste caso, por exemplo, isso n�o �
permitido, pois a s�rie n�o � absolutamente convergente (nem sequer �
convergente).

[]s,
Daniel

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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