É claro que (n,n) é solução para cada inteiro positivo n.
Suponhamos que 1 <= m < n e que m^n = n^m.
Se m = 1, então 1^n = n^1 ==> n = 1 (solução inválida pois estamos supondo que m < n).
Se m = 2, então 2^n = n^2 ==> n = 4 (a solução n = 2 não é válida pois estamos supondo que m = 2 < n). É fácil provar por indução que, para n >= 5, 2^n > n^2.
Assim, suponhamos que 3 <= m < n.
Considere a função f:[3,+inf) -> R dada por f(x) = log(x)/x ==>
f'(x) = (1 - log(x))/x^2 < 0 para x >= 3 ==>
f é monótona decrescente ==>
para 3 <= m < n, log(m)/m < log(n)/n ==>
n*log(m) < m*log(n) ==>
m^n < n^m ==>
A única solução (x,y) com x < y é (2,4).
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 26 Oct 2004 14:39:43 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
[obm-l] m^n = n^m |
> Boa noite
>
> Um problema interessante e que lembra um que o Claudio
> sugeriu sobre o numero e consiste em provar que, alem
> da solucao trivial com m=n=1, a equacao diofantina m^n
> = n^m tem uma e apenas uma solucao (considerando que,
> se (a,b) ? solucao, entao (b,a) e a mesma solucao).
> Por inspecao verificamos que (2,4) atende, mas ainda
> estou tentando provar que e a unica solucao.
> Ana
>
>
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