Como não podia deixar de ser, inverti o sentido das desigualdades no fim da minha solução. Felizmente, a conclusão não foi afetada. Segue abaixo a correção...
Claudio.
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> É claro que (n,n) é solução para cada inteiro positivo n.
> Suponhamos que 1 <= m < n e que m^n = n^m.
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> Se m = 1, então 1^n = n^1 ==> n = 1 (solução inválida pois estamos supondo que m < n).
>
> Se m = 2, então 2^n = n^2 ==> n = 4 (a solução n = 2 não é válida pois estamos supondo que m = 2 < n). É fácil provar por indução que, para n >= 5, 2^n > n^2.
>
> Assim, suponhamos que 3 <= m < n.
>
> Considere a função f:[3,+inf) -> R dada por f(x) = log(x)/x ==>
> f'(x) = (1 - log(x))/x^2 < 0 para x >= 3 ==>
> f é monótona decrescente ==>
> para 3 <= m < n, log(m)/m > log(n)/n ==>
> n*log(m) > m*log(n) ==>
> m^n > n^m ==>
>
> A única solução (x,y) com x < y é (2,4).
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> []s,
> Claudio.
>
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| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
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| Data: |
Tue, 26 Oct 2004 14:39:43 -0700 (PDT) |
>
| Assunto: |
[obm-l] m^n = n^m |
> > Boa noite
> >
> > Um problema interessante e que lembra um que o Claudio
> > sugeriu sobre o numero e consiste em provar que, alem
> > da solucao trivial com m=n=1, a equacao diofantina m^n
> > = n^m tem uma e apenas uma solucao (considerando que,
> > se (a,b) ? solucao, entao (b,a) e a mesma solucao).
> > Por inspecao verificamos que (2,4) atende, mas ainda
> > estou tentando provar que e a unica solucao.
> > Ana
> >