Re: [obm-l] angulos dos triangulos pitagoricos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Oct 24, 2004 at 01:00:06PM -0200, Claudio Buffara wrote:
> Uma generalizacao: Prove que os angulos agudos de um triangulo pitagorico
> sao irracionais quando expressos em graus.

Uma prova mais avançada e bem sucinta é a seguinte. 

Seja I o conjunto dos inteiros algébricos e seja Q[i] o conjunto dos números
complexos com parte real e parte imaginária racionais.
Para quem não sabe, um número complexo z é um inteiro algébrico
se e somente se existe um polinômio p, mônico e de coeficientes inteiros,
para o qual p(z) = 0. Assim, por exemplo, w = cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q)
é inteiro algébrico pois w^q - 1 = 0. Sabemos (esta é a parte difícil)
que a interseção entre I e Q[i] é Z[i], o conjunto dos complexos de parte real
e parte imaginária inteiras.

Voltando ao problema, se os catetos do triângulo são a e b e a hipotenusa
é c então tome z = (a/c) + (b/c)i. Claramente z pertence a Q[i]
e não pertence a Z[i], donde não pertence a I. Pelo exemplo acima,
z não pode ser da forma cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q), que é o que queríamos.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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