Re: [obm-l] Desigualdades e problema do Megazine [era: UMPROBLEMA DE CONTAGEM!]

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.10.04 13:03, Luís Lopes at qed_texte@hotmail.com wrote:
 
> Considere uma matriz A de ordem n cujos elementos a_{ij}
> pertencem ao conjunto X = {0,1,2,3,....,9}.
> 
> Seja M \in Z o mdc entre os inteiros N_1, N_2, ..., N_n,
> em que N_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} 10^{n-j} , i=1,2,...,n .
> 
> Prove que |A| eh divisivel por M.
> 
Ou seja, N_i eh o inteiro cujos algarismos formam a i-esima linha de A.

Use operacoes elementares com colunas para substituir a n-esima coluna de A
por uma coluna contendo os N_i. A substituicao eh:
C(n) <-- C(n) + 10*C(n-1) + 100*C(n-2) + ... + 10^(n-1)*C(1).
Isso nao altera o valor de det(A).

Agora, use a expansao (de Laplace, se nao me engano) do determinante em
funcao da ultima coluna a fim de obter o valor de det(A) como uma combinacao
linear dos N_i, onde os coeficientes sao os menores complementares
correspondentes.

Naturalmente, o mdc dos N_i divide cada um deles, e portanto, divide essa
combinacao linear, a qual eh igual a det(A).

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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