[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    A prova do Edward me parece estar perfeita. Ele não usou hora alguma o
que queria provar. Apenas demonstrou um resultado obviamente equivalente ao
pedido (como ele mesmo mencionou).
    []s
    Marcio

----- Original Message ----- 
From: "LEANDRO L RECOVA" <leandrorecova@msn.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, October 07, 2004 9:42 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]


> Eu nao concordo com sua solucao ! Voce ja partiu do resultado que queremos
> demonstrar. O resultado e verdadeiro e voce so fez provar a igualdade.
>
> A ideia e a seguinte:
>
> a) Substitua cos(kx)=[exp(ikx)+(exp(-ikx)]/2
> b) Entao, agrupe em duas somas:
>
> S = (1/2) + S1 + S2,
>
> S1 = [exp(ix)+exp(i2x)+...+exp(inx)]/2
> S2 = [exp(-ix)+exp(-i2x)+...+exp(-inx)]/2
>
> c) Use a formula da soma de uma serie geometrica para S1 e S2.
>
> d) Fazendo umas breves manipulacoes chega ao resultado.
>
> Se nao conseguir, me avise, que eu mando a solucao completa para a lista.
>
>
>
>
> >From: "Edward Elric" <edwardelric666@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
> >Date: Thu, 07 Oct 2004 23:20:53 +0000
> >
> >Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda:
> >2) Mostre que:
> >D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2)
> >Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 +
> >cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx))= sen[x(2n+1)/2].
> >Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)) =
> >sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) +....+
> >2*sen(x/2)*cos(nx).
> >Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1))
> >(utilizando a formula de produto em soma). Assim temos:
> >D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) +
> >sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1))
> >Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como
> >queriamos demontrar.
> >
> >Agora vamos ao primeiro problema:
> >1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.....sen87º*sen89º = 2^(-n) determine
o
> >valor de 2n
> >Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)=
> >cos(7),..., sen(47)=cos(43).
> >Olhando para o produto D, de forma diferente temos:
> >D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]=
> >sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43]
> >Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo:
> >D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46)
> >Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente
> >calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria
> >potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado.
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