RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]

["LEANDRO L RECOVA" <leandrorecova@xxxxxxx>]

Eu nao concordo com sua solucao ! Voce ja partiu do resultado que queremos 
demonstrar. O resultado e verdadeiro e voce so fez provar a igualdade.

A ideia e a seguinte:

a) Substitua cos(kx)=[exp(ikx)+(exp(-ikx)]/2
b) Entao, agrupe em duas somas:

S = (1/2) + S1 + S2,

S1 = [exp(ix)+exp(i2x)+...+exp(inx)]/2
S2 = [exp(-ix)+exp(-i2x)+...+exp(-inx)]/2

c) Use a formula da soma de uma serie geometrica para S1 e S2.

d) Fazendo umas breves manipulacoes chega ao resultado.

Se nao conseguir, me avise, que eu mando a solucao completa para a lista.




>From: "Edward Elric" <edwardelric666@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
>Date: Thu, 07 Oct 2004 23:20:53 +0000
>
>Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda:
>2) Mostre que:
>D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2)
>Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + 
>cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx))= sen[x(2n+1)/2].
>Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+....+cos(nx)) = 
>sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) +....+ 
>2*sen(x/2)*cos(nx).
>Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1))  
>(utilizando a formula de produto em soma). Assim temos:
>D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + 
>sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1))
>Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como 
>queriamos demontrar.
>
>Agora vamos ao primeiro problema:
>1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.....sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o 
>valor de 2n
>Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= 
>cos(7),..., sen(47)=cos(43).
>Olhando para o produto D, de forma diferente temos:
>D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= 
>sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43]
>Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo:
>D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46)
>Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente 
>calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria 
>potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado.
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