Re: [obm-l] Olimpíada do Cone Sul

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Tá no enunciado: "Por Q traçamos a paralela a AB que corta a reta AR em T".
O está em AB, que é diâmetro.

Faelccmm@aol.com escreveu:
>
>Kleinad ou qualquer outro colega,
>
>Só não entendi uma passagem em sua solução:
>
>QT // AO Poderia explicar ?
>
>No mais, está tudo certo.
>
>
>Em uma mensagem de 7/9/2004 12:12:49 Hora padrão leste da Am. Sul,
>kleinad@webcpd.com escreveu:
>
>
>>
>> >2) Seja C uma circunferência de centro O, AB um diâmetro dela e R um
ponto
>> >qualquer em C distinto de A e deB.  Seja P a interseção da perpendicular
>> traçada
>> >por O a AR.  Sobre a reta OP se marca o ponto  Q, de maneira que QP é a
>> >metade de PO e Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a
>> AB que
>> >corta a reta AR em T. Chamamos de H o ponto deinterseção das retas AQ e
OT.
>> >Provar que H, R e B são colineares.
>>
>> Por (XY) denoto a reta que passa por X e Y.
>>
>> Seja X = (AB)inter(RB). Temos que AB é diâmetro e R está em C => ^ARB =
90 e
>> RB // OP visto que APO = 90.
>>
>> Também temos QT // AO, donde os triângulos QHT e AHO são semelhantes, bem
>> como os triângulos QPT e APO sendo a razão entre esses dois igual a (1/2)
=
>> QP/OP, e logo QT/AO=(1/2) e a razão entre QHT e AHO é também igual a
(1/2).
>>
>> Portanto, HT/OH = 1/2. Mas com isso temos OT == HT.
>>
>> Repare que ^QPT = 90 = ^TRX e ^QTP == ^RTX (opostos pelo vértice). Logo,
os
>> triângulos ATP e TRX são semelhantes.
>>
>> Temos OP/RB = 1/2 (da semelhança de APO e RBA, que segue do paralelismo de
>> OP e RB, cuja razão é 1/2 = AO/AB). Repare que, como QX // OB e QO // XB,
>> QXBO é paralelogramo e portanto QO == XB.
>>
>> Ainda, OP = 2*QP e RB = XB + RX = QO + RX, logo a razão OP/RB fica 2*QP/
(RX
>> + 3*QP) = 1/2 --> 4*QP = 3*QP + RX --> RX == QP.
>>
>> Daí vem que a razão de semelhança entre QTP e TRX é 1, e eles são
>> congruentes.
>>
>> Logo, TR == PT. Como já tínhamos OT == HT e visto que os ângulos ^PTO e
^HTR
>> são opostos pelo vértice, então os triângulos HTR e PTO são congruentes,
>> donde ^HRT = 90.
>>
>> Como ^TRB = 90, concluímos que H, R e B são colineares.
>>
>> []s,
>> Daniel
>>
>>
>
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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