Re: [obm-l] Olimp�ada do Cone Sul

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>2) Seja C uma circunfer�ncia de centro O, AB um di�metro dela e R um ponto
>qualquer em C distinto de A e deB.  Seja P a interse��o da perpendicular
tra�ada
>por O a AR.  Sobre a reta OP se marca o ponto  Q, de maneira que QP � a
>metade de PO e Q n�o pertence ao segmento OP. Por Q tra�amos a paralela a
AB que
>corta a reta AR em T. Chamamos de H o ponto deinterse��o das retas AQ e OT.
>Provar que H, R e B s�o colineares.

Por (XY) denoto a reta que passa por X e Y.

Seja X = (AB)inter(RB). Temos que AB � di�metro e R est� em C => ^ARB = 90 e
RB // OP visto que APO = 90.

Tamb�m temos QT // AO, donde os tri�ngulos QHT e AHO s�o semelhantes, bem
como os tri�ngulos QPT e APO sendo a raz�o entre esses dois igual a (1/2) =
QP/OP, e logo QT/AO=(1/2) e a raz�o entre QHT e AHO � tamb�m igual a (1/2).

Portanto, HT/OH = 1/2. Mas com isso temos OT == HT.

Repare que ^QPT = 90 = ^TRX e ^QTP == ^RTX (opostos pelo v�rtice). Logo, os
tri�ngulos ATP e TRX s�o semelhantes.

Temos OP/RB = 1/2 (da semelhan�a de APO e RBA, que segue do paralelismo de
OP e RB, cuja raz�o � 1/2 = AO/AB). Repare que, como QX // OB e QO // XB,
QXBO � paralelogramo e portanto QO == XB.

Ainda, OP = 2*QP e RB = XB + RX = QO + RX, logo a raz�o OP/RB fica 2*QP/(RX
+ 3*QP) = 1/2 --> 4*QP = 3*QP + RX --> RX == QP.

Da� vem que a raz�o de semelhan�a entre QTP e TRX � 1, e eles s�o
congruentes.

Logo, TR == PT. Como j� t�nhamos OT == HT e visto que os �ngulos ^PTO e ^HTR
s�o opostos pelo v�rtice, ent�o os tri�ngulos HTR e PTO s�o congruentes,
donde ^HRT = 90.

Como ^TRB = 90, conclu�mos que H, R e B s�o colineares.

[]s,
Daniel

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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