Re: [obm-l] Olimpíada do Cone Sul

[Faelccmm@xxxxxxx]

Kleinad ou qualquer outro colega,

Só não entendi uma passagem em sua solução:

QT // AO Poderia explicar ?

No mais, está tudo certo.


Em uma mensagem de 7/9/2004 12:12:49 Hora padrão leste da Am. Sul, kleinad@webcpd.com escreveu:


> >2) Seja C uma circunferência de centro O, AB um diâmetro dela e R um ponto
> >qualquer em C distinto de A e deB.  Seja P a interseção da perpendicular
> traçada
> >por O a AR.  Sobre a reta OP se marca o ponto  Q, de maneira que QP é a
> >metade de PO e Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a
> AB que
> >corta a reta AR em T. Chamamos de H o ponto deinterseção das retas AQ e OT.
> >Provar que H, R e B são colineares.
>
> Por (XY) denoto a reta que passa por X e Y.
>
> Seja X = (AB)inter(RB). Temos que AB é diâmetro e R está em C => ^ARB = 90 e
> RB // OP visto que APO = 90.
>
> Também temos QT // AO, donde os triângulos QHT e AHO são semelhantes, bem
> como os triângulos QPT e APO sendo a razão entre esses dois igual a (1/2) =
> QP/OP, e logo QT/AO=(1/2) e a razão entre QHT e AHO é também igual a (1/2).
>
> Portanto, HT/OH = 1/2. Mas com isso temos OT == HT.
>
> Repare que ^QPT = 90 = ^TRX e ^QTP == ^RTX (opostos pelo vértice). Logo, os
> triângulos ATP e TRX são semelhantes.
>
> Temos OP/RB = 1/2 (da semelhança de APO e RBA, que segue do paralelismo de
> OP e RB, cuja razão é 1/2 = AO/AB). Repare que, como QX // OB e QO // XB,
> QXBO é paralelogramo e portanto QO == XB.
>
> Ainda, OP = 2*QP e RB = XB + RX = QO + RX, logo a razão OP/RB fica 2*QP/(RX
> + 3*QP) = 1/2 --> 4*QP = 3*QP + RX --> RX == QP.
>
> Daí vem que a razão de semelhança entre QTP e TRX é 1, e eles são
> congruentes.
>
> Logo, TR == PT. Como já tínhamos OT == HT e visto que os ângulos ^PTO e ^HTR
> são opostos pelo vértice, então os triângulos HTR e PTO são congruentes,
> donde ^HRT = 90.
>
> Como ^TRB = 90, concluímos que H, R e B são colineares.
>
> []s,
> Daniel