Oi Claudio. Eu creio que naum, porque o T. de Bolzano Weierstrass naum se aplica a espacos metricos gerais, ainda que completos. Com uma metrica d generica, sequencias limitadas podem nao conter sequencias convergentes.
Se vc tomar, por exemplo, R com a metrica discreta - d(x,y) = 1 se x<>y e d(x,x)=0, entao toda sequencia eh limitada mas {1,2...n.....} nao contem nenhuma sequencia convergente. E R continua sendo completo, as seq. de Cauchy sao as que se tornam constantes a partir de algum indice k.
*** Entendido. Acho que essa metrica discreta soh serve pra criar contra-exemplos!
Em um espaco metrico completo, o conjunto dos pontos de aderencia de uma seq. limitada eh fechado, logo completo, e limitado. Mas isto naum garante compacticidade, o T. de Heine Borel nao tem que vigorar.
*** A minha cabeca ainda eh de analise, onde um conjunto eh compacto <==> eh limitado e fechado. Eu sempre esqueco que a definicao geral eh aquela das coberturas abertas que tem uma subcobertura finita. Obrigado pela lembranca.
[]s,
Claudio.
A condicao, entretanto, eh sem duvida valida em espacos metricos compactos, que sao completos e totalmente limitados. Lembro que um espaco metrico X eh totalmente limitado se, para todo eps>0, X for coberto por uma colecao finita de bolas abertas de raio eps.
Abracos
Artur
Oi, Artur:
Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?
[]s,
Claudio.
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