Oi Claudio. Eu creio que naum, porque o T. de
Bolzano Weierstrass naum se aplica a espacos metricos gerais, ainda que
completos. Com uma metrica d generica, sequencias limitadas podem nao conter
sequencias convergentes.
Se vc tomar, por exemplo, R com a metrica
discreta - d(x,y) = 1 se x<>y e d(x,x)=0, entao toda sequencia eh
limitada mas {1,2...n.....} nao contem nenhuma sequencia convergente. E R
continua sendo completo, as seq. de Cauchy sao as que se tornam constantes a
partir de algum indice k.
Em um espaco metrico completo,
o conjunto dos pontos de aderencia de uma seq. limitada eh fechado, logo
completo, e limitado. Mas isto naum garante compacticidade, o T. de
Heine Borel nao tem que vigorar.
A condicao, entretanto, eh sem
duvida valida em espacos metricos compactos, que sao completos e totalmente
limitados. Lembro que um espaco metrico X eh totalmente limitado se, para
todo eps>0, X for coberto por uma colecao finita de bolas abertas de
raio eps.
Abracos
Artur
Oi, Artur:
Mas o resultado eh valido em
qualquer espaco metrico completo,
certo?
[]s,
Claudio.